Ciąg geometryczny. Jedno zadanie

[siro13]

Treść:
Znajdź ciąg geometryczny o 4. wyrazach, w którym wyraz 3ci zmniejszony o sumę dwóch pierwszych jest równy 3, a czwarty wyraz zmniejszony o sumę dwóch środkowych jest równy 6.

No więc przypuszczam że układ równań będzie wyglądał tak:

\(\displaystyle{ \begin{cases} c-a+b=3\\d-b+c=6\\b^2=ac\\c^2=bd\end{cases}}\)


Czy z tego układu równań można rozwiązać to zadanie?

[lukki_173]

Według mnie można.

[Qń]

Znajdź ciąg geometryczny o 4. wyrazach, w którym wyraz 3ci zmniejszony o sumę dwóch pierwszych jest równy 3, a czwarty wyraz zmniejszony o sumę dwóch środkowych jest równy 6.
No więc przypuszczam że układ równań będzie wyglądał tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} c-a+b=3\\d-b+c=6\\b^2=ac\\c^2=bd\end{cases}}\)

Raczej tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} c-a-b=3\\d-b-c=6\\b^2=ac\\c^2=bd\end{cases}}\)

Ale lepiej oznaczyć wyrazy ciągu przez \(\displaystyle{ a,aq,aq^2,aq^3}\) i dostać układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} aq^2-aq-a=3 \\ aq^3-aq^2-aq=6 \end{cases}}\)
Po podzieleniu stronami drugiego przez pierwszy dostaniemy, że \(\displaystyle{ q=2}\), a po wstawieniu tego do któregokolwiek równania otrzymujemy \(\displaystyle{ a=3}\), czyli nasz ciąg to \(\displaystyle{ 3,6,12,24}\).

Q.

[GenericNickname]

1)Zgubiłeś nawiasy w dwóch pierwszych równaniach, powinno być \(\displaystyle{ c-(a+b)}\) i \(\displaystyle{ d-(b+c)}\)
2)Teoretycznie można, ale się umęczysz Masz przecież tak naprawdę tylko 2 niewiadome - pierwszy wyraz i różnicę. Spróbuj tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} aq^2-aq-a=3 \\ aq^3-aq^2-aq=6 \end{cases}}\)

O, ciutkę się spóźniłem

[siro13]

Wielkie dzięki. Jeśli można to dam "Pomógł"