czy istnieje funkcja g

[setch]

Czy dla każdego ciągu funkcji \(\displaystyle{ (f_1,f_2,f_3,\ldots)}\) spełniających dla \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) warunek \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}f_n(x)=\infty}\) istnieje funkcja g, która "szybciej" dąży do \(\displaystyle{ \infty}\), gdy \(\displaystyle{ x \to \infty}\), niż każda z funkcji \(\displaystyle{ f_n}\), tzn. dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) mamy \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{g(x)}{f_n{x}}=\infty}\)?

[scyth]

Hmm... Nie sądzę - weźmy ciąg \(\displaystyle{ f_n (x) = e^{e^{e^{...^{e^x}}}}}\) (czyli n razy).
Przypuszczam, że można pokazać, że wówczas funkcja g musiałaby być stała i równa \(\displaystyle{ \infty}\), tylko nie wiem jak to ładnie formalnie pokazać. Ewentualnie może nie wprost? Załóż, że dla każdego ciągu takich funkcji jest ograniczenie górne i... sam nie wiem co .

A może jeśli dodatkowo założymy, że \(\displaystyle{ g}\) jest różniczkowalna, to wtedy stosujemy de l'Hospitala i w mianowniku jest \(\displaystyle{ \prod_{i=0}^{n} f_i}\) - i z tego już wniosek?

[setch]

Jakby funkcje \(\displaystyle{ g(x)}\) zapisac wzorem \(\displaystyle{ g(x)= \prod_{i=1}^{n} e^xf_i(x)}\) to wtedy byłby spełniony warunek \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{g(x)}{f_n(x)}}\)

[scyth]

Tylko że funkcję \(\displaystyle{ g}\) masz mieć wyznaczoną jednoznacznie, a ciąg funkcji \(\displaystyle{ \{ f_n \}}\) jest nieskończony, więc podana przez Ciebie funkcja \(\displaystyle{ g}\) byłaby dobra, gdybyśmy mieli do czynienia ze skończonym ciągiem (ustalonym \(\displaystyle{ n}\)).-- 26 stycznia 2009, 10:03 --Zauważ, że tak podana funkcja jest tożsamościowo równa nieskończoności.

[setch]

Gdzie jest napisane, że g(x) nie może być nieskonczona? A czy \(\displaystyle{ z(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}}}\) mogłaby być odpowiedzią tego zadnia, gdyby spełniała warunki?

[scyth]

Gdzie jest napisane, że g(x) nie może być nieskonczona?

Ograniczenie arbitralne przez nieskończoność? Trochę naciągane rozwiązanie.

[setch]

Troche pomyslalem o tym zadaniu podczas sniadania i doszedlem do wniosku, że:

Załóżmy, że istnieje funkcja, która rósnie "najszybciej" ze wszystkich możliwych, oznaczmy ją \(\displaystyle{ \psi(x)}\). Zatem \(\displaystyle{ g(x)=\psi(x)}\), ale \(\displaystyle{ \bigvee_{i \in \mathbb{N}} f_i(x)=\psi (x)}\), zatem nie ma takiej funkcji \(\displaystyle{ g(x)}\) co by rosła "szybciej" od wszystkich funkcji z tego ciągu.

[scyth]

Tylko tutaj nie ma mowy o tym, że istnieje funkcja, która rośnie najszybciej ze wszystkich możliwych, tyko że dla dowolnego ciągu funkcji istnieje funkcja rosnąca szybciej, niż one, nie ma mowy o tym, że jest jedyna czy że jest minimalna, po prostu jakaś jest. I tyle.

[setch]

Chciałem wykazać, że jakieby \(\displaystyle{ g(x)}\) nie wziął i tak będzie się zawierać w tym ciągu.

Można podejść z innej strony, skoro ciąg funkcji jest nieskonczony to zawiera wszystkie możliwe funkcje, zatem nie da się znaleźć nowej funkcji g(x) skoro ciąg funkcji zawiera wszystkie możliwe. Tylko raczej nie można sobie tak uogólnić tego ciągu.

[scyth]

Ciąg jest indeksowany liczbami naturalnymi, funkcji jest o wiele więcej, nie da się ich ustawić w ciąg. Dlatego Twoje rozumowanie jest błędne.