granica ciagu

[gufox]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } ( \frac{2n ^{2} +2}{n ^{2}+2 }) ^{n ^{2} } = \lim_{ n\to }[(1+ \frac{n ^{2} }{n ^{2}+2 } ) ^{ \frac{n ^{2} +2}{n ^{2} } }] ^{ \frac{n ^{4} }{n ^{2}+2 } } =e ^{ } = }\)


czy to jest dobrze policzone?

[jarzabek89]

Dobrze.

[Victoria_Black]

A mógłby ktoś jeszcze obliczyć :
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } ( \frac{n+4}{n+2}) ^{3n}}\)

[natkoza]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } ( \frac{2n ^{2} +2}{n ^{2}+2 }) ^{n ^{2} } = \lim_{ n\to \infty }[(1+ \frac{n ^{2} }{n ^{2}+2 } ) ^{ \frac{n ^{2} +2}{n ^{2} } }] ^{ \frac{n ^{4} }{n ^{2}+2 } } =e ^{ \infty } = \infty}\)


czy to jest dobrze policzone?

dobrze, tyle, ze niepotrzebnie przechodzisz do postaci liczby \(\displaystyle{ e}\)

A mógłby ktoś jeszcze obliczyć :
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } ( \frac{n+4}{n+2}) ^{3n}}\)

\(\displaystyle{ =\lim_{ n\to \infty }(\frac{n+2+2}{n+2})^{3n}=\lim_{ n\to \infty }(1+\frac{2}{n+2})^{3n}=\lim_{ n\to \infty }(1+\frac{2}{n+2})^{\frac{n+2}{2}\cdot \frac{6n}{n+2}}=\lim_{ n\to \infty }((1+\frac{2}{n+2})^{\frac{n+2}{2}})^{\frac{6n}{n+2}}=e^6}\)

[jarzabek89]

Z czystej ciekawości, dlaczego niepotrzebnie przechodzi do postaci liczby e?

[natkoza]

powód jest prosty.... granica wyrażenia w nawiasie to 2 czyli ma wyrażenie \(\displaystyle{ 2^{\infty}}\)
a do postaci liczby \(\displaystyle{ e}\) zamienia się gdy jest symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ 1^{\infty}}\)
ot całe wyjaśnienie