Równanie logarytmiczne z parametrem

[Mikolaj9]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
\(\displaystyle{ log _{2}x + log_{2}(x-m) = log_{2}(3x-4)}\)
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

Zaczynam od założeń:
\(\displaystyle{ x>0, x-m>0, x> \frac{4}{3}}\)
\(\displaystyle{ D={x:x \in (\frac{4}{3}, \infty )}}\)
\(\displaystyle{ m<x}\).


\(\displaystyle{ log _{2}x(x-m) = log_{2}(3x-4)}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} - (m+3)x + 4 = 0}\)

\(\displaystyle{ Delta>0}\)
\(\displaystyle{ m ^{2}+6m-7>0}\)

\(\displaystyle{ Delta'=36+28=64}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{Delta'}=8}\)

\(\displaystyle{ m _{1} =-7}\)
\(\displaystyle{ m _{2} = 1}\)

\(\displaystyle{ m \in (- \infty ,-7) \cup (1, \infty )}\)

\(\displaystyle{ m<x \Rightarrow m \in (- \infty ,-7) \cup (1, \frac{4}{3}>}\)

A w odpowiedziach jest: \(\displaystyle{ m \in (1,\frac{4}{3})}\)
Pewnie robię jakiś błąd z tym m i ustaleniem dziedziny, tylko nie wiem gdzie?

[GenericNickname]

Zapomniałeś o założeniu \(\displaystyle{ x>0}\). Wtedy z Viete'a masz \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=m+3>0}\)

[Mikolaj9]

No tak, ale nawet wtedy, czy ten nawias przy 4/3 nie powinien być domknięty?

[GenericNickname]

Jeszcze jeden "malutki" szczególik przegapiliśmy - \(\displaystyle{ x> \frac{4}{3} \iff \frac{m+3-\sqrt{m^2+6m-7}}{2}>\frac{4}{3} \iff m< \frac{4}{3}}\).

Ale wydaje mi się, że to może wyjść z lepiej zrobionego ogólniejszego założenia

[Mikolaj9]

A mógłbyś mi to napisać od samego początku, skąd to wszystko wynika? Bo nie bardzo rozumiem.

[GenericNickname]

Znak w złą stronę napisałem Masz \(\displaystyle{ x > \frac{4}{3}}\) co jest równoważne, że stwierdzeniem, że mniejszy z obu iksów jest większy od 4/3. I to właśnie (przedtem źle) napisałem w poprzednim poście. Nie mogę się jednak oprzeć wrażeniu, że sam coś przegapiłem i można to było zrobić bez takiego rozdrabniania się