Pochodne funkcji

[gryfik]

\(\displaystyle{ y=arcsine ^{ \sqrt{x} }}\)
pomocy

[miki999]

Robimy podstawienie:
\(\displaystyle{ t=e^{ \sqrt{x}} \\ (arcsin(e^{ \sqrt{x}}))'=(arcsint)' \cdot (e^{ \sqrt{x}})'= \frac{1}{ \sqrt{1-t^{2}} } \cdot e^{ \sqrt{x}} \cdot ( \sqrt{x} )'= \frac{1}{ \sqrt{1-(e^{ \sqrt{x}})^{2}} } \cdot e^{ \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x} }}\)

Przypominam o zasadzie:
\(\displaystyle{ (e^{f})'=e^{f} \cdot (f)'}\)


Pozdrawiam.

[evelinaa]

a kiedy nie da sie policzyc granicy np. z tego wzoru Hospitala tylko musze liczyc granice w taki "normalny sposob" jak przy granicach ciagow?

[miki999]

Kiedy nie masz do czynienia z tzw. symbolem nieoznaczonym (które wypisałem powyżej) ani nie można przekształcić, tej funkcji właśnie do takiej postaci. Wiele granic da się obliczyć zarówno "normalnie", jak i przy pomocy de l'Hospitala.

np.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^{2}+x}{x^{3}}=0}\)
Co jest oczywiste, bez stosowania tej reguły, ale można to sobie rozpisać:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^{2}+x}{x^{3}}=[ \frac{ \infty }{ \infty }]=^{H} \lim_{x \to \infty} \frac{6x+1}{3x^{2}}= [ \frac{ \infty }{ \infty }]=^{H} \lim_{x \to \infty} \frac{6}{6x}= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} =0}\)
Można to również policzyć poprzez analogię do twierdzenia o 3 ciągach:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^{2}}{x^{3}} \le \lim_{x \to \infty} \frac{3x^{2}+x}{x^{3}} \le \lim_{x \to \infty} \frac{3x^{2}+x^{2}}{x^{3}} \\ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^{2}}{x^{3}}= \lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}=0 \\ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^{2}+x^{2}}{x^{3}}= \lim_{x \to \infty} \frac{4x^{2}}{x^{3}}= \lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}=0}\)


Pozdrawiam.

[evelinaa]

ok

a teraz pomimo,ze to w zasadzie nie dotyczy bezposrednio tego tematu moglabym prosic o wyliczenie tych dwoch granic ciagow tutaj? nie chce na 2 przyklady zakladac kolejnego tematu

1. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{(1+2+3....+n)^2}{n^{4}+4}}\) tutaj granica bedzie=0, bo potega w liczniku jest mniejsza niz w mianowniku?


2. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{4n+cos(n^4)+(-1)^n}{n+3}}\)

[miki999]

1.
W liczniku mamy sumę ciągu arytmetycznego (bądź jeżeli znasz, to od razu zastosować wzór indukcyjny):
\(\displaystyle{ S_{n}= \frac{2+(n-1)}{2} \cdot n= \frac{n^{2}+n}{2} \\ \lim_{x \to \infty} \frac{( \frac{n^{2}+n}{2})^{2}}{n^{4}+4}= \frac{1}{4}}\)

2.
Obstawiam, że:
\(\displaystyle{ \frac{4n}{n}=4}\)

Btw. w granicach nie jestem aż tak dobry

Pozdrawiam.

[evelinaa]

mam pytanie odnosnie ekstremum lokalnego dla takiej funkcji:

\(\displaystyle{ (\frac{x^{2}-3x+2}{x-2})' = \frac{(2x-1)2-(x^{2}-3x+2)}{(x-2)^2}= \frac{-x^{2}+7x-8}{x^{2}-4x+4}}\) i teraz szukam miejsc zerowych, a wiec i ekstremow dla wielomianu, ktory jest w liczniku czy mianowniku?

[Nakahed90]

Szukasz miejsc zerowych licznika.

[evelinaa]

dzieki;)

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ (\frac{x^{2}-3x+2}{x-2})'=\frac{(2x-3)(x-2)-(x^{2}-3x+2)}{(x-2)^2}=\frac{2x^{2}-7x+6-x^{2}+3x-2}{(x-2)^{2}}=\frac{x^{2}-4x+4}{x^{2}-4x+4}=1}\)

Zauważ, że
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}-3x+2}{x-2}=\frac{x^{2}-2x-x+2}{x-2}=\frac{x(x-2)-(x-2)}{x-2}=\frac{(x-2)(x-1)}{x-2}=x-1}\)
\(\displaystyle{ (x-1)'=1}\)

[evelinaa]

jak policzyc ta pochodna,zeby dalej przejsc do ekstremum, bo nie moge tego wyliczyc:

\(\displaystyle{ ((x^{2}-3)e^{-x})'=2x (e^{-x}) + (x^{2}-3) (-e^{-x})}\) jak to uporzadkowac?

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ =-e^{-x}(x^{2}-2x-3)}\)

[evelinaa]

i przy szukaniu miejsc zerowych pomija sie \(\displaystyle{ -e^{-x}}\) , tak?

[Nakahed90]

Tak, bo to wyrażenie nigdy nie jest równe 0.

[evelinaa]

a na koncu jak podaje ,ze np. funkcja osiaga lokalne min, dla x=3, to f(3) podstawiam dla ktorego wyrazenia? wyjsciowego, czy pochodnej z tego?