Całka

[piotrekg2]

Prosilbym o pokazanie wszytkich przejsc. Domyslam sie ze moze to byc calkowanie przez podstawienie, ale niestety sam nie moge do niego dojsc.

\(\displaystyle{ \int \sin (\log (x))dx}\)

[Vigl]

Wystarczy podstawić: \(\displaystyle{ logx=t}\). Wtedy
\(\displaystyle{ x=10^t}\)
\(\displaystyle{ dx=10^tln10dt}\)
Dostajesz: \(\displaystyle{ ln10\int 10^tsintdt}\). A to możesz wyliczyć, korzystając dwukrotnie z całkowania przez części.

[piotrekg2]

A mógłbym jeszcze prosić o wytlumaczenie zasady calkowania przez podstawienie?
Znaczy znam wzor i wogole ale nie mam pojecia skad sie biora jakies "dziwne" podstawienia za dx

[Vigl]

A mógłbym jeszcze prosić o wytlumaczenie zasady calkowania przez podstawienie?

W istocie jest to bardzo proste. Po pierwsze ustalasz sobie wyrażenie, za które chcesz zrobić podstawienie. Weźmy dla przykładu całkę:
\(\displaystyle{ \int x\sqrt{1-x^2}dx}\) - zróbmy tu podstawienie za pierwiastek: \(\displaystyle{ \sqrt{1-x^2}=t}\). Możemy więc teraz zapisać naszą całkę w taki sposób: \(\displaystyle{ \int xtdx}\). Ale to nas jeszcze nie zbawia, bo nie dość, że w funkcji podcałkowej występują dwie zmienne (x i t), to jeszcze całkowanie jest po "iksie" (o czym świadczy "dx"). Nas interesuje pełna zamiana zmiennych (z x na t) i całkowanie po t (w ten sposób w końcu chcemy uprościć całkę). Musimy więc również dx (a w tym wypadku i nieszczęsnego iksa przed pierwiastkiem) wyrazić za pomocą t. Zapiszmy jeszcze raz nasze podstawienie w takiej postaci:
\(\displaystyle{ t^2=1-x^2}\) - i zróżniczkujmy to stronami;
\(\displaystyle{ 2tdt=-2xdx==>xdx=-tdt}\) - a to nam już "załatwia" całą całkę. Finalnie mamy więc:
\(\displaystyle{ \int x\sqrt{1-x^2}dx=-\int t^2dt=-\frac{t^3}{3}=-\frac{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}{3}.}\)

Wiem, że dużo wody powyżej rozlałem, ale starałem się wytłumaczyć to najjaśniej jak się tylko da.

[piotrekg2]

No to teraz idealnie to pokazales dziekuje.