Szereg pochodnych arcus sinusa

black_ozzy · Post autor: **black_ozzy** » 22 sty 2009, o 18:21

Mam pytanie da sie jakoś w zgrabny sposób zapisać szereg pochodnych funkcji arcsin x, dla x=0? Oczywiście poprzez szereg pochodnych rozumiem: 1 pochodna, 2, 3, ...

Post autor: **luka52** » 22 sty 2009, o 21:31

Chodzi Ci o szereg Maclaurina? Jeżeli tak, to można - należy w tym celu wpierw rozwinąć pochodną funkcji \(\displaystyle{ \arcsin}\), a następnie scałkować otrzymany szereg.

black_ozzy · Post autor: **black_ozzy** » 23 sty 2009, o 00:59

chodzi mi o to, że potrzebuje ogólny wyraz na k-ta pochodna, tak jak np. dla ln(1+x) to mam \(\displaystyle{ f^{(k)}(x)=\frac{(-1)^{k}(k-1)!}{1+x)^{k}}}\), dla arcsin x też chce taki ogolny wzor. tylko, ze tam będzie dla 2k pochdnych bo 2k-1 będa się zerować dla x=0.-- 26 stycznia 2009, 21:46 --Po wielu męczarniach, odpowiedz okazała sie zaskakująco prosta

\(\displaystyle{ f^{(2k-1)}(0)=\prod\limits_{n=1}^{k-1} (2n-1)^{2}}\)