Układy równań

[memfis]

Witam, dostałem takie oto zadanie jednak całkowicie nie pamiętam jak je zrobić, mam tablice matematyczne z którymi próbowałem rozwiązać te zadania, jednak bez większych sukcesów:( Oto treść zadania :
Rozwiąż układy równań metodą podstawiania oraz metodą przeciwnych współczynników.


1)\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 3x-2y=0\\6y-10x-4=0 \end{array}}\)



2)\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x(x+1)-(x+2)^2=y-3\\ \frac{1}{2}x-\frac{1}{4}=4 \end{array}}\)



3)\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} -x+2y=-3\\2x-4y=0 \end{array}}\)



4)\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x(x+1)-(x+2)^2=y-3\\2x-y=16 \end{array}}\)

[anna_]

1)
Metoda podstawniania:
Wyznaczasz z któregoś z równań niewiadomą x lub y (najlepiej wybrać tą, przy której wspólczynnik cyfrowy jest równy 1 lub -1, jeżeli jest oczywiście taka możliwość)

Wyznaczam x z I równania
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 3x-2y=0\\6y-10x-4=0 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 3x=2y\\6y-10x-4=0 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x= \frac{2}{3}y\\6y-10x-4=0 \end{array}}\)
Podstawiam wyznaczony x do II równania
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x= \frac{2}{3}y\\6y-10 \cdot \frac{2}{3}y-4=0 \end{array}}\)
I równanie pozostawiamy bez zmian , II upraszczamy i wyliczamy y
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x= \frac{2}{3}y\\6y-\frac{20}{3}y-4=0 / \cdot 3\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x= \frac{2}{3}y\\18y-20y=12 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x= \frac{2}{3}y\\-2y=12 / -2)\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x= \frac{2}{3}y\\y=-6 \end{array}}\)
Podstawiamy wyliczoną wartośc y do I równania
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x= \frac{2}{3} \cdot (-6)\\y=6 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=-4\\y=-6 \end{array}}\)

Metoda przeciwnych wspólczynników:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 3x-2y=0\\6y-10x-4=0 \end{array}}\)
Przenosimy niewiadome na lewą stronę równań, a wyrazy wolne na prawą
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 3x-2y=0\\-10x+6y=4 \end{array}}\)
Mnożymy jedno lub oba równania, przez takie liczby, aby otrzymać liczby przeciwne
(przy \(\displaystyle{ x}\) w I równaniu jest \(\displaystyle{ 3}\), a w II \(\displaystyle{ -10}\), 'dobrym' współczynnikiem będzie \(\displaystyle{ 30}\) i \(\displaystyle{ -30}\), więc I równanie trzeba pomnożyć przez \(\displaystyle{ 10}\), a II przez \(\displaystyle{ 3}\)
lub
przy \(\displaystyle{ y}\) w I równaniu jest \(\displaystyle{ -2}\), a w II \(\displaystyle{ 6}\), 'dobrym' współczynnikiem będzie \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ -6}\), więc I równanie trzeba pomnożyć przez \(\displaystyle{ 3}\), a II zostawić bez zmian)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 3x-2y=0 / \cdot 3\\-10x+6y=4 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 9x-6y=0 \\-10x+6y=4 \end{array}}\)

Dodajemy stronami
\(\displaystyle{ -x=4 /:(-1)\\
x=-4}\)
Podstawiany wyliczoną wartośc \(\displaystyle{ x}\) do ktoregoś z równań ( wybieramy to prostsze)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=-4 \\3x-2y=0 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-4 \\ 3 \cdot (-4)-2y=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-4 \\ -2y=12 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-4 \\ y=-6 \end{cases}}\)