bardzo prosze o rozw krok po kroku:)
Dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = ln(x+4)+ \frac{1}{2} x^2}\)
a) Zbadać jej wklęsłość i wypukłość oraz wyznaczyć punkty przegięcia.
b) Wyznaczyć elastyczność tej funkcji dla x = 2 oraz podać interpretację wyniku.
wklęsłość wypukłość oraz pkty przegięcia
-
bedbet
- Użytkownik
- Posty: 2530
- Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 248 razy
wklęsłość wypukłość oraz pkty przegięcia
a.)
\(\displaystyle{ D_f=\{ x \ : \ x\in(-4;+\infty)\}}\)
\(\displaystyle{ f^{'}(x)=\frac{1}{x+4}+x\\
\\
f^{''}(x)=\frac{-1}{x+4}+1=\frac{x+3}{x+4} \ , \ f^{''}(x)=0\iff x=-3 \ , \\ f^{''}(x)<0\iff x\in(-4;-3) \ , \ f^{''}(x)>0\iff x\in(-3;+\infty)}\)
Zatem funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest wypukła na przedziale \(\displaystyle{ (-3;+\infty)}\), zaś na przedziale \(\displaystyle{ (-4;-3)}\) jest wklęsła. Punkt \(\displaystyle{ x=-3}\) jest jej punktem przegięcia.
b.)
\(\displaystyle{ E_f=\frac{x}{f(x)}f^{'}(x)\\
\\
E_{f(x)}=\frac{x}{\ln (x+4)+\frac{x^2}{2}}\left(\frac{1}{x+4}+x\right)}\)
Elastyczność tej funkcji nie jest stała i zależy od poziomu zmiennej \(\displaystyle{ x}\).
\(\displaystyle{ E_{f(2)}=\frac{13}{2(\ln 6+2)}\approx 0,57}\)
Jeżeli argument funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) wzrośnie w punkcie \(\displaystyle{ x=2}\) o \(\displaystyle{ 1 \ \%}\), to wówczas wartość funkcji wzrośnie o \(\displaystyle{ 0,57 \ \%}\).
\(\displaystyle{ D_f=\{ x \ : \ x\in(-4;+\infty)\}}\)
\(\displaystyle{ f^{'}(x)=\frac{1}{x+4}+x\\
\\
f^{''}(x)=\frac{-1}{x+4}+1=\frac{x+3}{x+4} \ , \ f^{''}(x)=0\iff x=-3 \ , \\ f^{''}(x)<0\iff x\in(-4;-3) \ , \ f^{''}(x)>0\iff x\in(-3;+\infty)}\)
Zatem funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest wypukła na przedziale \(\displaystyle{ (-3;+\infty)}\), zaś na przedziale \(\displaystyle{ (-4;-3)}\) jest wklęsła. Punkt \(\displaystyle{ x=-3}\) jest jej punktem przegięcia.
b.)
\(\displaystyle{ E_f=\frac{x}{f(x)}f^{'}(x)\\
\\
E_{f(x)}=\frac{x}{\ln (x+4)+\frac{x^2}{2}}\left(\frac{1}{x+4}+x\right)}\)
Elastyczność tej funkcji nie jest stała i zależy od poziomu zmiennej \(\displaystyle{ x}\).
\(\displaystyle{ E_{f(2)}=\frac{13}{2(\ln 6+2)}\approx 0,57}\)
Jeżeli argument funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) wzrośnie w punkcie \(\displaystyle{ x=2}\) o \(\displaystyle{ 1 \ \%}\), to wówczas wartość funkcji wzrośnie o \(\displaystyle{ 0,57 \ \%}\).