bardzo prosze o rozw mi tego zadania krok po kroku, z gory bardzo dziekuje;)
Dana jest funkcja dwóch zmiennych
\(\displaystyle{ f(x,y) = \frac{3}{2} xy^2 + 2xy + \frac{1}{2}x ^{3}}\)
a) wyznaczyć jej ekstrema lokalne,
b) wyznaczyć elastyczności cząstkowe tej funkcji w punkcie
P( 2, 1) oraz podać interpretacje wyników.
funkcja dwoch zmiennych
-
eerroorr
- Użytkownik
- Posty: 366
- Rejestracja: 8 kwie 2006, o 09:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 58 razy
- Pomógł: 10 razy
funkcja dwoch zmiennych
Jeśli chodzi o podpunkt a).
\(\displaystyle{ f'_{x}=\frac{3}{2}y^{2}+2y+\frac{3}{2}x^{2}}\)
\(\displaystyle{ f'_{y}=3xy+2x}\)
\(\displaystyle{ (f'_{x})'_{x}=3x}\)
\(\displaystyle{ (f'_{x})'_{y}=3y+2}\)
\(\displaystyle{ (f'_{y})'_{y}=3x}\)
\(\displaystyle{ (f'_{y})'_{x}=3y+2}\)
Teraz liczymy punkt krytyczne zpierwszych pochodnych:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{3}{2}y^{2}+2y+\frac{3}{2}x^{2}\\3xy+2x\end{cases}}\)
Mi z tego równania wyszły dwa punkty, ale możesz to jeszcze sprawdzić, bo liczyłem szybko i mogłem się pomylić:
\(\displaystyle{ (0,0)}\)
\(\displaystyle{ (0,-\frac{4}{3})}\)
Teraz dla drugich pochodnych układamy macierz. Za niewiadome podstawiamy punkty krytyczne:
dla (0,0) macierz wychodzi taka:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&2\\2&0\end{array}\right]}\)
Następnie liczymy wyznaczniki tej macierzy - tutaj wychodzą 0 i -4, więc funkcja nie ma ekstremum
dla \(\displaystyle{ (0,-\frac{4}{3})}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&-2\\-2&0\end{array}\right]}\)
także nie ma ektremum
Więc podana funkcja nie ma ekstremum lokalnego
\(\displaystyle{ f'_{x}=\frac{3}{2}y^{2}+2y+\frac{3}{2}x^{2}}\)
\(\displaystyle{ f'_{y}=3xy+2x}\)
\(\displaystyle{ (f'_{x})'_{x}=3x}\)
\(\displaystyle{ (f'_{x})'_{y}=3y+2}\)
\(\displaystyle{ (f'_{y})'_{y}=3x}\)
\(\displaystyle{ (f'_{y})'_{x}=3y+2}\)
Teraz liczymy punkt krytyczne zpierwszych pochodnych:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{3}{2}y^{2}+2y+\frac{3}{2}x^{2}\\3xy+2x\end{cases}}\)
Mi z tego równania wyszły dwa punkty, ale możesz to jeszcze sprawdzić, bo liczyłem szybko i mogłem się pomylić:
\(\displaystyle{ (0,0)}\)
\(\displaystyle{ (0,-\frac{4}{3})}\)
Teraz dla drugich pochodnych układamy macierz. Za niewiadome podstawiamy punkty krytyczne:
dla (0,0) macierz wychodzi taka:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&2\\2&0\end{array}\right]}\)
Następnie liczymy wyznaczniki tej macierzy - tutaj wychodzą 0 i -4, więc funkcja nie ma ekstremum
dla \(\displaystyle{ (0,-\frac{4}{3})}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&-2\\-2&0\end{array}\right]}\)
także nie ma ektremum
Więc podana funkcja nie ma ekstremum lokalnego