Oblicz granicę

[dyskalkulik]

Oblicz granicę:

1. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{2n^{2}-n^{2}+10n-7}{n^{3}-200}}\)

2. \(\displaystyle{ a_{n}= \left(9- \frac{8n^{2}+1}{n^{2}} \right)^{7n^{2}}\)

3. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{n+3}{n} \right)^{3n+5}}\)

4. \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{3x^{2}+2x}{5x^{4}-8x^{2}}}\)

5. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt{9n^{2}-18n+7-3n}}\)

Proszę o rozwiązanie zadań, niekoniecznie wszystkie przykłady na raz.
Pozdrawiam!

[Frey]

Dobra to ja jedno zrobię.

2. \(\displaystyle{ a_{n}= \left(9- \frac{8n^{2}+1}{n^{2}} \right)^{7n^{2}} = \left(9-8 + \frac{-1}{n^{2}} \right)^{7n^{2}} \rightarrow e^{-7}}\)

3. Analogicznie.

1. 4. 5. To raczej z tw. o 3 ciągach.

[dyskalkulik]

Dobra to ja jedno zrobię.

2. \(\displaystyle{ a_{n}= \left(9- \frac{8n^{2}+1}{n^{2}} \right)^{7n^{2}} = \left(9-8 + \frac{-1}{n^{2}} \right)^{7n^{2}} \rightarrow e^{-7}}\)

3. Analogicznie.

1. 4. 5. To raczej z tw. o 3 ciągach.

Mógłbym liczyć na wyjaśnienie rozwiązania? Bo nijak nie mogę dojść skąd wziął się wynik. Dziękuje i pozdrawiam!

[Frey]

2. \(\displaystyle{ a_{n}= \left(9- \frac{8n^{2}+1}{n^{2}} \right)^{7n^{2}} = \left(9-8 + \frac{-1}{n^{2}} \right)^{7n^{2}} = \left(\left(1 + \frac{-1}{n^{2}} \right)^{n^{2}}\right)^{7}= \left(e^{-1}\right)^7 \rightarrow e^{-7}}\)

wiemy:
x- ciąg dążący do nieskończoności
a - pewna stała rzeczywista

\(\displaystyle{ (1+ \frac{a}{x} )^x \rightarrow e^{a}}\)


jaśniej?

[mazifox]

stosujemy tutaj wzor \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \left(1+ \frac{8n^2+1}{n^2} \right)^{7n^2}= \left(\left(1+ \frac{1}{(-n^2)}\right)^{-n^2} \right)^{-7}}\)

aa taka postac wyrazenia \(\displaystyle{ \left(\left(1+ \frac{1}{(-n^2)}\right)^{-n^2} \right)^{-7}}\) rowna sie \(\displaystyle{ e^{-7}}\)

bo to \(\displaystyle{ \left(1+ \frac{1}{(-n^2)} \right)^{-n^2}}\) to jest nasze e


ps. hmm chyba nie umiem tlumaczyc : D

[dyskalkulik]

jaśniej?

już się nie da. Dzięki!

ps. hmm chyba nie umiem tlumaczyc : D

Ale i tak nieźle Ci poszło!. Dzięki i pozdrawiam!

PS. Liczę na dalszą pomoc!

[mazifox]

Oblicz granicę:

3. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{n+3}{n} \right)^{3n+5}}\)

Proszę o rozwiązanie zadań, niekoniecznie wszystkie przykłady na raz.
Pozdrawiam!

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{n}{n}+\frac{3}{n} \right)^{3n+5}}\) dalej \(\displaystyle{ \left( \frac{n}{n} 1+ \frac{3}{n}\right)^{3n+5}}\) dalej \(\displaystyle{ \left( \frac{n}{n} 1+ \frac{1}{ \frac{n}{3}}\right)^{3n+5}}\) dalej \(\displaystyle{ \left( \left( \frac{n}{n} 1+ \frac{1}{ \frac{n}{3}}\right)^ \frac{n}{3} \right) ^{x}}\)

x wyliczamy

\(\displaystyle{ x= \frac{3n+5}{ \frac{n}{3} }}\) wiec \(\displaystyle{ x= \frac{9n+15}{n}}\) wiec \(\displaystyle{ \frac{n}{n} \left( \frac{ 9+ \frac{15}{n}}{1} \right) = \Rightarrow \frac{15}{n} \rightarrow 0}\) wiec \(\displaystyle{ e ^{9}}\)

chyba xd dopiero sie ucze ;P

[dyskalkulik]

chyba xd dopiero sie ucze ;P

Ale i tak jesteś o niebo lepszy ode mnie:) Pozdrawiam!

[Frey]

1. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{2n^{2}-n^{2}+10n-7}{n^{3}-200} = \frac{n^{2}+10n-7}{n^{3}-200} = \frac{n^{2}(1+\frac{10}{n}-\frac{7}{n^2})}{n^{2}(n-\frac{200}{n^3})} \rightarrow \frac{1+0-0}{\infty -0} = 0}\)

Taki mały skrót myślowy, ale mam nadzieję, że nadążasz.

5. \(\displaystyle{ \infty \leftarrow 2n = \sqrt{4n^{2}} = \sqrt{9n^{2}-5n^{2}} \le \sqrt{9n^{2}-21n} \le \sqrt{9n^{2}-21n+7} = \lim_{ n\to \infty } \sqrt{9n^{2}-18n+7-3n}}\)

Czytaj od strony prawej do lewej z tw. o 2 ciągach zbiega do nieskończoności.

PS: Nie martw się wyrobisz się.