Oblicz pochodną funkcji

[dyskalkulik]

Oblicz pochodną funkcji:

1. \(\displaystyle{ sin \sqrt[3]{ \frac{1-2x}{x} }}\)

2. \(\displaystyle{ 2ln \sqrt{x^{3}+7x^{2}}}\)

3. \(\displaystyle{ 3 \sqrt[3]{x}+ln e \frac{1}{x}- \frac{tgx}{1-x}}\)

4. \(\displaystyle{ e^{-x^{2}}- \frac{sin(2x)}{x- \sqrt{5x+2}}}\)

5. \(\displaystyle{ xln^{2}x+ \frac{cosx-x}{e^{-3x}}}\)

Proszę o rozwiązanie przykładów, nawet pojedynczych.
Pozdrawiam!

[miki999]

1.Podstawienie:
\(\displaystyle{ t= \sqrt[3]{ \frac{1-2x}{x} } \\ u= \frac{1-2x}{x} \\ (sin \sqrt[3]{ \frac{1-2x}{x} })'= (sint)' \cdot ( \sqrt[3]{ \frac{1-2x}{x} })'=cost \cdot (u^{1/3})' \cdot ( \frac{1-2x}{x})'= cost \cdot \frac{1}{3u^{2/3}} \cdot (- \frac{1}{x^{2}})=cos \sqrt[3]{ \frac{1-2x}{x} } \cdot \frac{1}{3( \frac{1-2x}{x})^{2/3}} \cdot (- \frac{1}{x^{2}})}\)


2.Podstawienia:
\(\displaystyle{ t= \sqrt{x^{3}+7x^{2}} \\ u=x^{3}+7x^{2} \\ (2ln\sqrt{x^{3}+7x^{2}})'=2(lnt)' \cdot ( \sqrt{x^{3}+7x^{2}})'= \frac{2}{t} \cdot (u^{1/2})' \cdot (x^{3}+7x^{2})'= \frac{2}{t} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{u} } \cdot (3x^{2}+14x)= \frac{2}{\sqrt{x^{3}+7x^{2}}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}+7x^{2}} } \cdot (3x^{2}+14x)}\)


3.
Nie wiem czy jest tam błąd w zapisie:
\(\displaystyle{ lne \frac{1}{x} ??}\)
Zakładam, że chodziło o:
\(\displaystyle{ ln( \frac{1}{x} )}\)
Do obliczenia ostatniego członu wzór na pochodną wyrażenia ułamkowego + podstawienie:
\(\displaystyle{ t= \frac{1}{x} \\ (3x^{1/3}+ln \frac{1}{x} - \frac{tgx}{1-x})'=x^{-2/3}+(lnt)' \cdot ( \frac{1}{x} )' - \frac{(tgx)'(1-x)-tgx(1-x)'}{(1-x)^{2}} = \frac{1}{ \sqrt[3]{x^{2}} }+ x \cdot ( \frac{-1}{x^{2}})- \frac{ \frac{1}{cos^{2}x} \cdot (1-x) +tgx}{(1-x)^{2}}= \frac{1}{ \sqrt[3]{x^{2}} } - \frac{1}{x} - \frac{ \frac{1-x}{cos^{2}x}+tgx }{(1-x)^{2}}}\)

4. Należy pamiętać, że:
\(\displaystyle{ (e^{f})'=e^{f} \cdot (f)'}\)
Użyje podstawień:
\(\displaystyle{ t=2x \\ u=5x+2 \\ (e^{-x^{2}}- \frac{sin(2x)}{x- \sqrt{5x+2} } )'= e^{-x^{2}} \cdot (-x^{2})' - \frac{(sin(2x))' \cdot (x- \sqrt{5x+2} ) - (x- \sqrt{5x+2} )' \cdot sin(2x)}{(x- \sqrt{5x+2} )^{2}}= e^{-x^{2}} \cdot (-2x) - \frac{(sint)' \cdot (2x)' \cdot (x- \sqrt{5x+2} ) - [1-(u^{1/2})' \cdot (5x+2)'] \cdot sin(2x)}{(x- \sqrt{5x+2} ) ^{2}}= e^{-x^{2}} \cdot (-2x) - \frac{cost \cdot 2 \cdot (x- \sqrt{5x+2} ) - [1- \frac{1}{2 \sqrt{u} } \cdot 5 ]sin2x}{(x- \sqrt{5x+2} )^{2}}= e^{-x^{2}} \cdot (-2x) - \frac{2cos(2x) \cdot (x- \sqrt{5x+2} ) - [1- \frac{5}{2 \sqrt{5x+2} } ]sin2x}{(x- \sqrt{5x+2} )^{2}}}\)

5. Pochodna iloczynu, wyrażenia ułamkowego, podstawienie:
\(\displaystyle{ t=lnx \\ (x \cdot (lnx)^{2} + \frac{cosx-x}{e^{-3x}})'= (x)' \cdot (lnx)^{2} + x \cdot (t^{2})' \cdot (lnx)' + \frac{(cosx-x)' \cdot e^{-3x}- (cosx-x) \cdot (e^{-3x})'}{e^{-6x}}= ln^{2}x + x \cdot 2t \cdot \frac{1}{x} + \frac{(-sinx-1) \cdot e^{-3x}-(cosx-x) \cdot e^{-3x} \cdot (-3)}{e^{-6x}}= ln^{2}x + 2lnx + \frac{(-sinx-1) \cdot e^{-3x}+3(cosx-x) \cdot e^{-3x} }{e^{-6x}}}\)

Wszystko uprościć.


Pozdrawiam.

[dyskalkulik]

Dzięki za rozwiązanie tych dwóch przykładów. Liczę na dalszą pomoc, pozdrawiam!