Wyznacz dziedzinę funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)=arctg( \frac{x-1}{2}-arctg( \frac{x+1}{2}-arctg( \frac{x^{2}+3}{4}}\)
oraz wykaż,że jest to funkcja stała.Znaleźć tą stałą.
Dziedzina to wiadomo,że rzeczywiste.Stałą łatwo wyznaczyć, bpo byle co podstawiam i obliczam.Jednak jak mam to wykazać/udowodnić?
Dziedzina i stałość
-
wojtek6214
- Użytkownik
- Posty: 735
- Rejestracja: 28 gru 2007, o 20:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 187 razy
- Pomógł: 1 raz
-
GenericNickname
- Użytkownik
- Posty: 42
- Rejestracja: 18 wrz 2008, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 7 razy
Dziedzina i stałość
Niech \(\displaystyle{ a = \frac{x-1}{2}, b=\frac{x+1}{2}, c=\frac{x^2+3}{4}}\).
Załóżmy, że \(\displaystyle{ \tg \alpha = a}\) i \(\displaystyle{ \tg \beta = b}\).Zauważmy, że \(\displaystyle{ ab+1=c}\) oraz \(\displaystyle{ b-a=1}\), więc \(\displaystyle{ c=\frac{ab+1}{b-a}}\).
Ze wzoru na tangens różnicy mamy \(\displaystyle{ \tg(x-y)=\frac{\tg x - \tg y}{1+\tg x \tg y}}\), więc:
\(\displaystyle{ \tg(\beta-\alpha)=\frac{b-a}{1+ab}\Rightarrow c=\frac{1}{\tg(\beta-\alpha)}=\ctg(\beta-\alpha)=\tg(\frac{\pi}{2}-\beta+\alpha)}\) i ostatecznie \(\displaystyle{ \textrm{arctg }a - \textrm{arctg }b -\textrm{arctg }c = \alpha - \beta -(\frac{\pi}{2}-\beta+\alpha)=-\frac{\pi}{2}}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ \tg \alpha = a}\) i \(\displaystyle{ \tg \beta = b}\).Zauważmy, że \(\displaystyle{ ab+1=c}\) oraz \(\displaystyle{ b-a=1}\), więc \(\displaystyle{ c=\frac{ab+1}{b-a}}\).
Ze wzoru na tangens różnicy mamy \(\displaystyle{ \tg(x-y)=\frac{\tg x - \tg y}{1+\tg x \tg y}}\), więc:
\(\displaystyle{ \tg(\beta-\alpha)=\frac{b-a}{1+ab}\Rightarrow c=\frac{1}{\tg(\beta-\alpha)}=\ctg(\beta-\alpha)=\tg(\frac{\pi}{2}-\beta+\alpha)}\) i ostatecznie \(\displaystyle{ \textrm{arctg }a - \textrm{arctg }b -\textrm{arctg }c = \alpha - \beta -(\frac{\pi}{2}-\beta+\alpha)=-\frac{\pi}{2}}\)