Zbadać, czy jest zbieżny:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{cos^2n!}{2^n}}\)
thx
Zbieznosc szeregu
-
miodzio1988
Zbieznosc szeregu
\(\displaystyle{ \frac{cos^2n!}{2^n} \frac{1}{2^n}}\)
a taki szereg :
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{1}{2^n}}\) jest zbiezny. Zatem na mocy kryterium porownawczego nasz szereg wyjsciowy jest zbiezny.
a taki szereg :
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{1}{2^n}}\) jest zbiezny. Zatem na mocy kryterium porownawczego nasz szereg wyjsciowy jest zbiezny.
-
miodzio1988
Zbieznosc szeregu
w liczniku jest 1 , bo dla kazdego x:cosx<1. ja tam bym sie nie bawil z D' Alemberta. gdyby silnia stala jako wyraz wolny to tak , ale mamy cosn!...
-
miodzio1988
Zbieznosc szeregu
jest zbiezny bezwzglednie. jak nalozymy na ten szereg wartosc bezwzgledna to bedziemy mieli taki szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{2}{ n^{2}+1 }}\) no a taki szereg jest zbiezny. (sprawdz to sobie , skorzystaj z kryterium porownawczego np)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{2}{ n^{2}+1 }}\) no a taki szereg jest zbiezny. (sprawdz to sobie , skorzystaj z kryterium porownawczego np)
-
miodzio1988
Zbieznosc szeregu
mamy 2 szeregi o wyyrazach dodatnich:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } a_{n}}\) i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } b_{n}}\)
jesli: \(\displaystyle{ a_{n} b_{n}}\) i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } b_{n}}\) zbiezny to \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } a_{n}}\) jest zbiezny.
jesli: \(\displaystyle{ a_{n} b_{n}}\) i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } b_{n}}\) rozzbiezny to \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } a_{n}}\) jest rozbiezny.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } a_{n}}\) i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } b_{n}}\)
jesli: \(\displaystyle{ a_{n} b_{n}}\) i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } b_{n}}\) zbiezny to \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } a_{n}}\) jest zbiezny.
jesli: \(\displaystyle{ a_{n} b_{n}}\) i \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } b_{n}}\) rozzbiezny to \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } a_{n}}\) jest rozbiezny.
-
Frey
- Użytkownik
- Posty: 3110
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 243 razy
Zbieznosc szeregu
Kryterium porównawcze mówi, tyle że, możemy na podstawie innych szeregów, rozpatrywać nasz szereg np.
Nasz szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{2}{ n^{2}+1 }}\)
Zamiast tego bierzemy szereg "większy". Mniejszy mianownik to większy ułamek.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{2}{ n^{2} } jest zb.}\)
Wiemy, że szereg \(\displaystyle{ \frac{1}/{n^2}}\) zbieżny (jak ktoś nie wie, to użyje kryterium zagęszczeniowego).
I teraz korzystamy z kryterium porównawczego. wiemy, że szereg "większy" od naszego jest zbieżny, czyli nasz szereg też jest zbieżny.
Działa to też w drugą stronę, jeśli weżniemy szereg mniejszy od naszego i okaże się on rozbieżny, to nasz szereg również będzie rozbieżny.
Nasz szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{2}{ n^{2}+1 }}\)
Zamiast tego bierzemy szereg "większy". Mniejszy mianownik to większy ułamek.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{2}{ n^{2} } jest zb.}\)
Wiemy, że szereg \(\displaystyle{ \frac{1}/{n^2}}\) zbieżny (jak ktoś nie wie, to użyje kryterium zagęszczeniowego).
I teraz korzystamy z kryterium porównawczego. wiemy, że szereg "większy" od naszego jest zbieżny, czyli nasz szereg też jest zbieżny.
Działa to też w drugą stronę, jeśli weżniemy szereg mniejszy od naszego i okaże się on rozbieżny, to nasz szereg również będzie rozbieżny.
-
green_01
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 12 paź 2008, o 18:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 2 razy
Zbieznosc szeregu
Dobra, to mam 3 szeregi i jak je rozwiazac:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{n}{ln(n^2+2)}
\frac{1}{ \sqrt{n}cos \frac{1}{n} }
ntg \frac{1}{n^2}}\)
Sry ze tyle przykladow, ale ja sie ucze analizujac przyklady, a na zajeciach malo ich robimy.
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{n}{ln(n^2+2)}
\frac{1}{ \sqrt{n}cos \frac{1}{n} }
ntg \frac{1}{n^2}}\)
Sry ze tyle przykladow, ale ja sie ucze analizujac przyklady, a na zajeciach malo ich robimy.
-
Frey
- Użytkownik
- Posty: 3110
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 243 razy
Zbieznosc szeregu
tak kombinuje, ale cos 1/n dąży do 1 i jest ciagle dodatni:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{ \sqrt{n} } \frac{1}{ \sqrt{n}cos \frac{1}{n} }}\)
Wiemy, że:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{ \sqrt{n}}}\) jest rozbieżne. Więc na mocy kryterium porównawczego szereg większy jest rozbieżny. Choć to szacowanie powyższe niezbyt mi się podoba.
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{ \sqrt{n} } \frac{1}{ \sqrt{n}cos \frac{1}{n} }}\)
Wiemy, że:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{ \sqrt{n}}}\) jest rozbieżne. Więc na mocy kryterium porównawczego szereg większy jest rozbieżny. Choć to szacowanie powyższe niezbyt mi się podoba.
-
Frey
- Użytkownik
- Posty: 3110
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 243 razy
Zbieznosc szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{n}{ln(2*n^2)} \le \sum_{}^{} \frac{n}{ln(n^2+2)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{n}{ln(2*n^2)} k.zagęsz \frac{2*2^n}{2(n+1)ln(2)} k.cauchego \frac{2}{1*1}>1}\)
szereg mniejszy rozb. zatem z k. porównawczego szereg większy rozbieżny. Też jakos to dziwnie poszło, ale chyba dobrze.
\(\displaystyle{ \frac{n}{ln(2*n^2)} k.zagęsz \frac{2*2^n}{2(n+1)ln(2)} k.cauchego \frac{2}{1*1}>1}\)
szereg mniejszy rozb. zatem z k. porównawczego szereg większy rozbieżny. Też jakos to dziwnie poszło, ale chyba dobrze.