Zbieżność szeregu + Iloczyn szeregu

[corax]

Zbadaj zbieżność szeregów:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{n}{n^{2}+1000}


\sum_{n=0}^{\infty} (cos \frac{(2n+1)\pi}{4} ) \frac{n}{n^{2}+1000}}\)
Problem w tym, że wg mnie oba szeregi są zbieżne, a wydaje mi się, że tutaj jest coś nei tak, że jeden jest zbieżny a drugi nie, no i nie wiem

Drugie zadanie to:
Oblicz iloczyn Cauchego szeregów:
\(\displaystyle{ ( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} n^{-s} )^{2}


(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{ \sqrt{n+1} } )^2}\)
W pierwszym przykładzie trzeba wykazać zbieżność iloczynu dla s>1/2

[miodzio1988]

pierwszy szereg.

nie jest zbiezny bezwzglednie. nakladamy wartosc bezwzgledna i mamy taki szereg:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ } \frac{n}{ n^{2}+1000 }}\)(*)
taki szereg jest rozbiezny, bo:
\(\displaystyle{ \frac{n}{ n^{2}+1000 } \frac{n}{n^{2}+n^{2}}= \frac{1}{2n}}\)(wazne jest ze nierownosc zachodzi od pewnego miejsca) zatem na mocy kryterium porownawczego szereg (*) jest rozbiezny.

zatem patrzymy czy szereg jest zbiezny warunkowo. korzystamy z kryterium Leibniza.

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{n}{ n^{2}+1000 } 0}\)
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{n}{ n^{2}+1000 } 0}\)
no i sprawdz ze to jest ciag malejacy.

drugi szereg robimy tak samo, tylko zbieznosc warunkową dowodzimy z kryterium Dirichleta:D

[hellsing]

pierwszy szereg \(\displaystyle{ (-1)^n}\) - ograniczony \(\displaystyle{ \frac{n}{n^2+1000}}\) - monotonicznie zbiega do 0.
drugi szereg \(\displaystyle{ \cos\frac{(2n+1)\pi}{4}}\)- ograniczony.

wniosek oba zbiezne