Czy jest przekształceniem wskazanej przestrzeni liniowej ?

[ŚwIeRsZcZ]

Czy podane przekształcenie jest przekształceniem liniowym wskazanej przestrzeni liniowej ?

\(\displaystyle{ f:R^{2} R^{3} f(x,y)=(x+y, x, 2x+y)}\)

Czy ogólny wzór przy tym przykładzie to :
\(\displaystyle{ f(a\vec{v_{1}}+b\vec{v_{2}}) = af(\vec{v_{1}})+bf(\vec{v_{2}})}\)

??
Czy czasem nie powinienem wziąść trzech wektorów : \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}=(x_{1},y_{1}) ; \vec{v_{2}}=(x_{2},y_{2}) ;\vec{v_{3}}=(x_{3},y_{3})}\)
i wtedy udowodnić stronami
\(\displaystyle{ f(a\vec{v_{1}}+b\vec{v_{2}}+c\vec{v_{3}})=af(\vec{v_{1}})+bf(\vec{v_{2}})+cf(\vec{v_{3}})}\)

[JankoS]

Z definicji homomorfizmu dowolnej przetrzeni E w niekoniecznie inną przestrzń f warunki liniowości dotyczą dwóch wektorów, a dokładnie: jednego warunek jednorodności h(ax) = ah(x) oraz dwóch warunek addytywności h(x + y) = h(x) + h(y), które to można ująć w jednym wzorze przedstawionym przez Kolegę.

[ŚwIeRsZcZ]

czyli mówiąc bardziej potocznie, zawsze wystarczy wziąć dwa wektory \(\displaystyle{ \vec{v_{1}} , \vec{v_{2}}}\)

np. dla przykładu

\(\displaystyle{ f:R^{4} R^{3} f(x,y,z,t)=(x+y+1, y-t, z)}\)

wystarczą dwa wektory , by dowieść L=P.

[JankoS]

Tak.

[ŚwIeRsZcZ]

Prosiłbym w takim razie o zerknięcie na taki przykład:
\(\displaystyle{ f:R^{2} R^{2} f(x,y)=(xy,x+y)}\)

\(\displaystyle{ \vec{v_{1}}=(x_{1} , y_{1}) \quad a\vec{v_{1}}=(ax_{1} , ay_{1})}\)
\(\displaystyle{ \vec{v_{2}}=(x_{2} , y_{2}) \quad b\vec{v_{1}}=(bx_{2} , by_{2})}\)

\(\displaystyle{ f(a\vec{v_{1}}+b\vec{v_{2}})=af(\vec{v_{1}})+bf(\vec{v_{2}})}\)


\(\displaystyle{ L: f(a\vec{v_{1}}+b\vec{v_{2}})=(ax_{1}+bx_{2} , ay_{1}+by_{2})=}\)

\(\displaystyle{ quad [(ax_{1}+bx_{2})(ay_{1}+by_{2}) , ax_{1}+bx_{2}+ay_{1}+by_{2})}\)


\(\displaystyle{ P:af(\vec{v_{1}})+bf(\vec{v_{2}})=af(x_{1},y_{1})+bf(x_{2},y_{2})=}\)

\(\displaystyle{ a(x_{1}y_{1},x_{1}+y_{1})+b(x_{2}y_{2},x_{2}+y_{2})=}\)

\(\displaystyle{ (ax_{1}y_{1},ax_{1}+ay_{1})+(bx_{2}y_{2},bx_{2}+by_{2})=}\)

\(\displaystyle{ (ax_{1}y_{1}+bx_{2}y_{2},ax_{1}+bx_{2}+ay_{1}+by_{2})}\)

w związku z czym \(\displaystyle{ L P}\) czyli innymi słowy nie jest to przekształcenie lin. wskazanej przestrzenii liniowej.

[JankoS]

To nie jest przekształcenie liniowe,widać, to z pierwszej składowej wyniku.
Akurat w takich przypadkach wygodniej sprawdzać osobno warunki addtywności i jednorodności. Np tę ostatnią \(\displaystyle{ f(a(x,y))=f(ax,ay)=(a^2xy, a(x+y)). \ af(x,y)=a(xy,x+y)=(axy,a(x+y)).}\)
Równość nie zachodzi

[ŚwIeRsZcZ]

Ale mój [pełny] zapis jest poprawny ?