całka - zweryfikowanie wyniku

[Arxas]

Zadanie: obliczyć całkę nieoznaczoną:

\(\displaystyle{ \int \frac{e^{-2x}-4}{e^{-x}+2}dx}\)

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \int \frac{e^{-2x}-4}{e^{-x}+2}dx=\int \frac{(e^{-x}-2)(e^{-x}+2)}{e^{-x}+2}dx=\int(e^{-x}-2)dx=\int e^{-x}dx+\int-2dx=e^{-x}-2x+C}\)

Wynik podany w książce jest jednak nieco inny i wygląda tak:

\(\displaystyle{ ...=-e^{-x}-2x+C}\)

Prosiłbym o wskazanie ewentualnego błędu w moim rozwiązaniu - wygląda na to, że nie do końca wiem, jak wygląda funkcja pierwotna z e do potęgi -x. Pozdrawiam

[kuch2r]

\(\displaystyle{ \int e^{-x}\mbox{ dx}=-e^{-x} +C}\)

[Arxas]

Ta po prostu i jest i mam to przyjąć do wiadomości, czy jest jakieś wytłumaczenie, dlaczego tak to wygląda?

[kuch2r]

troche łopatologii , skoro nalegasz
wiemy, ze
\(\displaystyle{ \int e^{x}\mbox{ dx}=e^{x}+C}\)
Zatem rozważmy
\(\displaystyle{ \int e^{-x} \mbox{dx}}\)
Dokonajmy podstawienia
\(\displaystyle{ -x=t}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \mbox{dx}=-\mbox{dt}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \int e^{-x} \mbox{dx}=\int -e^{t}\mbox{dt}=-e^{t}+C_1=-e^{-x}+C_2}\)

[Arxas]

No, teraz już wszystko rozumiem Bardzo dziękuję.