Zadanie: obliczyć całkę nieoznaczoną:
\(\displaystyle{ \int \frac{e^{-2x}-4}{e^{-x}+2}dx}\)
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \int \frac{e^{-2x}-4}{e^{-x}+2}dx=\int \frac{(e^{-x}-2)(e^{-x}+2)}{e^{-x}+2}dx=\int(e^{-x}-2)dx=\int e^{-x}dx+\int-2dx=e^{-x}-2x+C}\)
Wynik podany w książce jest jednak nieco inny i wygląda tak:
\(\displaystyle{ ...=-e^{-x}-2x+C}\)
Prosiłbym o wskazanie ewentualnego błędu w moim rozwiązaniu - wygląda na to, że nie do końca wiem, jak wygląda funkcja pierwotna z e do potęgi -x. Pozdrawiam
całka - zweryfikowanie wyniku
- kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
całka - zweryfikowanie wyniku
troche łopatologii , skoro nalegasz
wiemy, ze
\(\displaystyle{ \int e^{x}\mbox{ dx}=e^{x}+C}\)
Zatem rozważmy
\(\displaystyle{ \int e^{-x} \mbox{dx}}\)
Dokonajmy podstawienia
\(\displaystyle{ -x=t}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \mbox{dx}=-\mbox{dt}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \int e^{-x} \mbox{dx}=\int -e^{t}\mbox{dt}=-e^{t}+C_1=-e^{-x}+C_2}\)
wiemy, ze
\(\displaystyle{ \int e^{x}\mbox{ dx}=e^{x}+C}\)
Zatem rozważmy
\(\displaystyle{ \int e^{-x} \mbox{dx}}\)
Dokonajmy podstawienia
\(\displaystyle{ -x=t}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \mbox{dx}=-\mbox{dt}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \int e^{-x} \mbox{dx}=\int -e^{t}\mbox{dt}=-e^{t}+C_1=-e^{-x}+C_2}\)