Wykazać niewymierność.
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Wykazać niewymierność.
Załóżmy, ze pewne \(\displaystyle{ p\in N}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej i \(\displaystyle{ \sqrt{p}}\) jest liczbą wymierną. Wówczas istnieją takie \(\displaystyle{ m,n\in C,n 0}\), że
\(\displaystyle{ \sqrt{p}=\frac{m}{n}}\). To oznacza, że \(\displaystyle{ n^{2} p=m^{2}}\).
Skoro p nie jest kwadratem liczby naturalnej, to istnieje taka liczba pierwsza q, która wchodzi do rozkładu p na czynniki pierwsze z wykładnikiem nieparzystym. Z kolei wszystkie liczby pierwsze wchodzą do rozkładu \(\displaystyle{ m^{2}}\) i \(\displaystyle{ n^{2}}\) na czynniki pierwsze z wykładnikami parzystymi. Niech q wchodzi do rozkładu liczb \(\displaystyle{ m^{2},n^{2},p}\) odpowiednio z wykładnikami \(\displaystyle{ 2a,2b,2c+1}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c\in C}\). Wówczas q wchodzi do rozkładu liczby \(\displaystyle{ n^{2} p}\) na czynniki pierwsze z wykładnikiem \(\displaystyle{ 2b+2c+1}\), natomiast do rozkładu liczby \(\displaystyle{ m^{2}}\) z wykładnikiem \(\displaystyle{ 2a}\). Te wykładniki są różne, gdyż pierwszy z nich jest nieparzysty, a drugi parzysty. Otrzymaliśmy sprzeczność (z zasadniczym twierdzeniem arytmetyki).
\(\displaystyle{ \sqrt{p}=\frac{m}{n}}\). To oznacza, że \(\displaystyle{ n^{2} p=m^{2}}\).
Skoro p nie jest kwadratem liczby naturalnej, to istnieje taka liczba pierwsza q, która wchodzi do rozkładu p na czynniki pierwsze z wykładnikiem nieparzystym. Z kolei wszystkie liczby pierwsze wchodzą do rozkładu \(\displaystyle{ m^{2}}\) i \(\displaystyle{ n^{2}}\) na czynniki pierwsze z wykładnikami parzystymi. Niech q wchodzi do rozkładu liczb \(\displaystyle{ m^{2},n^{2},p}\) odpowiednio z wykładnikami \(\displaystyle{ 2a,2b,2c+1}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c\in C}\). Wówczas q wchodzi do rozkładu liczby \(\displaystyle{ n^{2} p}\) na czynniki pierwsze z wykładnikiem \(\displaystyle{ 2b+2c+1}\), natomiast do rozkładu liczby \(\displaystyle{ m^{2}}\) z wykładnikiem \(\displaystyle{ 2a}\). Te wykładniki są różne, gdyż pierwszy z nich jest nieparzysty, a drugi parzysty. Otrzymaliśmy sprzeczność (z zasadniczym twierdzeniem arytmetyki).