udowodnij twierdzenie, trapez

[mateusz.ex]

jeżeli połaczmy srodki ramion dowolnego trapezy to otrzymamy odcinek równoległy do podstaw trapezu o długości równej sredniej arytmetycznej długości podstaw.

udowodnij twierdzenie

[Crizz]

Uzupełniasz trapez do prostokąta. Z twierdzenia Talesa masz \(\displaystyle{ \frac{t}{h}=\frac{x}{2x}}\), czyli \(\displaystyle{ t=\frac{h}{2}}\), a także \(\displaystyle{ \frac{z}{h}=\frac{y}{2y}}\), czyli \(\displaystyle{ z=\frac{h}{2}}\). Stąd \(\displaystyle{ z=t}\), czyli czworokąt ABCD jest prostokątem, a CD jest równoległy do obu podstaw.

[ Dodano: 7 Stycznia 2009, 21:13 ]
Niech podstawy trapezu mają długości a i b. Odcinek CD dzieli trapez na dwa trapezy, zatem pole wyjściowego trapezu można traktować jako sumę pól tych trapezów: \(\displaystyle{ S=\frac{(a+|CD|) h}{4}+\frac{(b+|CD|) h}{4}}\). Z drugiej strony, \(\displaystyle{ S=\frac{(a+b) h}{2}}\). Porównując te dwa wzory, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ |CD|=\frac{a+b}{2}}\).

[mateusz.ex]

za bardzo tego nie rozumie, nie da sie tego jakos prosciej udowdnic, to zadanie miałam w dziale z wektorami?

[Crizz]

Oznacz sobie "lewy dolny" wierzchołek trapezu przez A, potem obiegiem lewostronnym kolejne wierzchołki jako B, C i D, potem środek "prawego" ramienia oznacz przez E, a "lewego" przez F.

(wszystko w poniższych równaniach to wektory)

Zachodzi \(\displaystyle{ EF=EB+BA+AF}\) oraz \(\displaystyle{ EF=EC+CD+DF}\)

Po dodaniu tych równości stronami, dostajemy \(\displaystyle{ 2EF=EB+BA+AF+EC+CD+DF}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ EB=-EC,AF=-DF}\), to \(\displaystyle{ 2EF=BA+CD}\). Stąd mamy tezę zadania.