Pole obszaru leżącego pomiędzy krzywymi

[Ketler]

Witam,
mam do rozwiązania następujące zadanie:

1) Wyznaczyć pole obszaru leżącego pomiędzy krzywymi

a) \(\displaystyle{ y=e ^{-x}}\) , \(\displaystyle{ y=e ^{3x}}\), \(\displaystyle{ y= \sqrt{e}}\)

Zadanie to należy rozwiązać za pomocą całek. Bardzo proszę o wskazówki i rozwiązanie.

Pozdrawiam

[piotrek1718]

Najlepiej te 3 krzywe sobie narysować ( y = e^1/2 jest prostą)

następnie należy przyrównać do siebie te krzywe (przyrównujemy po 2 równania), aby otrzymać punkty przecięcia:
\(\displaystyle{ A = (- \frac{1}{2}; \sqrt{e})}\)
\(\displaystyle{ B = ( \frac{1}{6} ; \sqrt{e})}\)
\(\displaystyle{ C = (0;1)}\)

analizujac najlepiej obszar podzilić na 2 połowy (D1 i D2) prostą x=0, wtedy:
\(\displaystyle{ D _{1} = t_{- \frac{1}{2} }^{0} ( \sqrt{e} - e ^{-x} )dx}\)
\(\displaystyle{ D _{2} = t_{0}^{ \frac{1}{6} } ( \sqrt{e} - e ^{3x})dx}\)

Szukane pole to suma: \(\displaystyle{ D= D _{1} + D _{2}}\)

Jeśli mam napisać całe rozwiązanie to proszę napisać:)

[Ketler]

Jeśli byś mógł to poproszę o całe równania bo nie czaje.

I dlaczego \(\displaystyle{ \sqrt{e}}\) jest linią prostą?

[piotrek1718]

Prosta \(\displaystyle{ y= \sqrt{e}}\) jest prostą równoległą do osi OX, i przecina oś OY w \(\displaystyle{ y= \sqrt{e}}\)
Nie zależy ona od 'x-ów'.

Najlepszy sposób to narysować to i zobaczyć.

\(\displaystyle{ D _{1}= \int_{ -\frac{1}{2} }^{0}( \sqrt{e} - e ^{-x})dx = \sqrt{e} \int_{ -\frac{1}{2} }^{0}dx - \int_{ -\frac{1}{2} }^{0} e ^{-x} dx = \sqrt{e}*[x] _{- \frac{1}{2} } ^{0} - [(-e ^{-x})] _{- \frac{1}{2} } ^{0}=....}\)
po podstawieniu granic: \(\displaystyle{ ...=- \frac{1}{2} \sqrt{e} +1}\)

\(\displaystyle{ D _{2}= \int_{0}^{ \frac{1}{6} } ( \sqrt{e} - e ^{3x} )dx = \sqrt{e} \int_{0}^{ \frac{1}{6} }dx - \int_{0}^{ \frac{1}{6} }e ^{3x}dx = \sqrt{e}* [x] _{0} ^{ \frac{1}{6} } - [ \frac{1}{3}e ^{3x} ] _{0} ^{ \frac{1}{6} }=...}\)
po podstawieniu granic: \(\displaystyle{ ...=- \frac{1}{6} \sqrt{e}+ \frac{1}{3}}\)

Możliwe że gdzieś się walnąłem w podstawieniu granic, ale reszta powinna być dobrze

[Ketler]

A jak otrzymać te punkty przecięcia?

[piotrek1718]

Trzeba rozwiązać 3 układy rownań (z każdego 1 punkt):

\(\displaystyle{ \begin{cases} y =e ^{-x} \\ y =e ^{3x} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y =e ^{-x} \\ y = \sqrt{e} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y =e ^{3x} \\ y = \sqrt{e} \end{cases}}\)

A Ty studiujesz, czy tylko zadanie potrzebujesz?