Kilka granic

[roger_biezanow]

Bardzo prosze o pomoc w policzeniu tych 4 granic:
1.\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{ \sqrt{cosx}-1 }{x ^{2} }}\)
2.\(\displaystyle{ \lim_{ x\to -2} \frac{arcsin (x+2)}{ x^{2}+2x }}\)
3. \(\displaystyle{ \lim_{ x\to } cos \frac{x}{2} cos \frac{x}{4} ...cos \frac{x}{2 ^{n} }}\)
4. \(\displaystyle{ \lim_{ x\to + } \frac{ x^{lnx} }{lnx ^{x} }}\)

Pozdrawiam

[miodzio1988]

regula del 'Hospitala sie klania kolego:P

[Wasilewski]

3)
\(\displaystyle{ \frac{sinx}{x} = \frac{2sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}}{x} = \frac{sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} cos\frac{x}{2} = \frac{sin \frac{x}{4}}{\frac{x}{4}} cos \frac{x}{2} cos \frac{x}{4}}\)
Zatem przez indukcję:
\(\displaystyle{ cos \frac{x}{2} cos \frac{x}{4} \ldots cos \frac{x}{2^{n}} = \frac{sinx}{x} \frac{ \frac{x}{2^{n}}}{sin \frac{x}{2^{n}}} \frac{sinx}{x}}\)
A jeśli to faktycznie x zbiega do nieskończoności, to wtedy granica nie istnieje.

[meninio]

1.
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{ \sqrt{\cos x}-1 }{x ^{2} }=\lim_{ x\to 0} \frac{ \cos x-1 }{x ^{2}(\sqrt{\cos x}+1) } =- \lim_{ x\to 0} \frac{ 1-\cos x }{x ^{2}} \frac{1}{\sqrt{\cos x}+1 }= \\ \\ =- \lim_{ x\to 0} \frac{ 2\sin^2 \frac{x}{2} }{x ^{2}} \frac{1}{\sqrt{\cos x}+1 }= - \lim_{ x\to 0} \frac{ 2}{\sqrt{\cos x}+1} ft(\frac{\sin\frac{x}{2} }{x} \right)^2 = \\ \\ =- \lim_{ x\to 0} \frac{ 2}{\sqrt{\cos x}+1} ft(\frac{\sin\frac{x}{2} }{\frac{x}{2}} \right)^2 \frac{1}{4}=-\frac{1}{4}}\)

[roger_biezanow]

Dzieki;)
4 wyszlo z d'Hospitala, wczesniej zrobilem blad:P
ale tego z arkusem niestety juz nie moge sie doliczyc:)