\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ }{cos ^{4} x}}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ }{ \sqrt{x ^{2}+5x+7 } }}\)
Z góry dziękuję za pomoc
2 całki do obliczenia
-
meninio
- Użytkownik
- Posty: 1876
- Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 467 razy
2 całki do obliczenia
Ad.1
\(\displaystyle{ \mathca;{I}=\int \frac{1}{\cos^4x}dx=\int \frac{1}{\cos^2 x} \frac{1}{\cos^2 x}dx}\)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ t=\tg x dt=\frac{1}{\cos^2 x}dx \\ \\
t^2=\tg^2 x t^2=\frac{1}{\cos^2 x}-1 \frac{1}{\cos^2 x}=t^2+1}\)
I wstawiamy:
\(\displaystyle{ \mathcal{I}=\int (t^2+1)dt=\frac{1}{3}t^3+t=\frac{1}{3}\tg^3x+\tg x+C}\)
Ad.2
\(\displaystyle{ \mathcal{I}=\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+5x+7}}=\int \frac{dx}{\sqrt{ ft(x+\frac{5}{2} \right)^2+\frac{3}{4}}}=\int \frac{dx}{\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{ ft(\frac{x+\frac{5}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right)^2+1}}}\)
Podstawienie: \(\displaystyle{ \frac{x+\frac{5}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sinh t \frac{2}{\sqrt{3}}dx=\cosh t dt}\)
\(\displaystyle{ \mathca;{I}=\frac{2}{\sqrt{3}} t \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cosh t dt}{\sqrt{\sinh^2 t+1}}=\int dt =t+C}\)
Teraz z podstawienia trzeba wyznaczyć t.
\(\displaystyle{ \sinh t=\frac{x+\frac{5}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ \\ e^t+e^{-t}=\frac{x+\frac{5}{2}}{\sqrt{3}} \\ \\ e^{2t}-\frac{x+\frac{5}{2}}{\sqrt{3}}e^t+1=0}\)
Trzeba to teraz potraktować jak równanie kwadratowe, wyzanczyć pierwiastki i na końcu zlogarytmować.
I w efekcie dostajemy wynik:
\(\displaystyle{ t=\ln ft(\frac{\frac{x+\frac{5}{2}}{\sqrt{3}}+\sqrt{ ft(\frac{x+\frac{5}{2}}{\sqrt{3}} \right) ^2-4}}{2} \right)}\)
Teraz to już sobie tylko po upraszczaj.
\(\displaystyle{ \mathca;{I}=\int \frac{1}{\cos^4x}dx=\int \frac{1}{\cos^2 x} \frac{1}{\cos^2 x}dx}\)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ t=\tg x dt=\frac{1}{\cos^2 x}dx \\ \\
t^2=\tg^2 x t^2=\frac{1}{\cos^2 x}-1 \frac{1}{\cos^2 x}=t^2+1}\)
I wstawiamy:
\(\displaystyle{ \mathcal{I}=\int (t^2+1)dt=\frac{1}{3}t^3+t=\frac{1}{3}\tg^3x+\tg x+C}\)
Ad.2
\(\displaystyle{ \mathcal{I}=\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+5x+7}}=\int \frac{dx}{\sqrt{ ft(x+\frac{5}{2} \right)^2+\frac{3}{4}}}=\int \frac{dx}{\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{ ft(\frac{x+\frac{5}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right)^2+1}}}\)
Podstawienie: \(\displaystyle{ \frac{x+\frac{5}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sinh t \frac{2}{\sqrt{3}}dx=\cosh t dt}\)
\(\displaystyle{ \mathca;{I}=\frac{2}{\sqrt{3}} t \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cosh t dt}{\sqrt{\sinh^2 t+1}}=\int dt =t+C}\)
Teraz z podstawienia trzeba wyznaczyć t.
\(\displaystyle{ \sinh t=\frac{x+\frac{5}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ \\ e^t+e^{-t}=\frac{x+\frac{5}{2}}{\sqrt{3}} \\ \\ e^{2t}-\frac{x+\frac{5}{2}}{\sqrt{3}}e^t+1=0}\)
Trzeba to teraz potraktować jak równanie kwadratowe, wyzanczyć pierwiastki i na końcu zlogarytmować.
I w efekcie dostajemy wynik:
\(\displaystyle{ t=\ln ft(\frac{\frac{x+\frac{5}{2}}{\sqrt{3}}+\sqrt{ ft(\frac{x+\frac{5}{2}}{\sqrt{3}} \right) ^2-4}}{2} \right)}\)
Teraz to już sobie tylko po upraszczaj.