ciagi - 3 ciągi i tw. o 3 ciągach

[misiu24h]

ma to być rozwiazane z twierdzenia o 3 ciagach

1. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to } ( \frac{1}{ \sqrt{n^4+1}}+ \frac{1}{ \sqrt{n^4+2}}+...+ \frac{n}{ \sqrt{n^4+n} } } })}\)

2.\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } \frac{ log_{n}(n^4+1) }{ log_{n}(n^2+1) }}\)

3. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to } \sqrt[n]{ \frac{1}{n}+ \frac{2}{n^2}+ \frac{3}{n^3}+ \frac{4}{n^4} }}\)

[Frey]

ma to być rozwiazane z twierdzenia o 3 ciagach

1. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to } ( \frac{1}{ \sqrt{n^4+1}}+ \frac{1}{ \sqrt{n^4+2}}+...+ \frac{n}{ \sqrt{n^4+n} } } })}\)

2.\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } \frac{ log_{n}(n^4+1) }{ log_{n}(n^2+1) }}\)

3. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to } \sqrt[n]{ \frac{1}{n}+ \frac{2}{n^2}+ \frac{3}{n^3}+ \frac{4}{n^4} }}\)

Wystarczy chwile pomyśleć. Ja zrobię 3 bo mi się najbardziej podoba, a jak nikt nie zrobi dalej to wieczorem resztę Ci napisze.

\(\displaystyle{ 1 \frac{ \sqrt[n]{1} }{ \sqrt[n]{n} } \sqrt[n]{ \frac{1}{n}} \sqrt[n]{ \frac{1}{n}+ \frac{2}{n^2}+ \frac{3}{n^3}+ \frac{4}{n^4} } \sqrt[n]{ \frac{1}{n}+ \frac{1}{n}+ \frac{1}{n}+ \frac{1}{n} } \sqrt[n]{4* \frac{1}{n}}= \sqrt[n]{4} * \sqrt[n]{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{4} * \frac{ \sqrt[n]{1} }{ \sqrt[n]{n} } 1* \frac{1}{1}=1}\)

[Lorek]

\(\displaystyle{ 2\gets \frac{4+\log_n 2}{2}=\frac{\log_n(2n^4)}{\log_n n^2}\ge \frac{\log_n(n^4+1)}{\log_n(n^2+1)}\ge \frac{\log_n n^4}{\log_n (2n^2)}=\frac{4}{2+\log_n 2}\to 2}\)

[camillus1989]

1)
\(\displaystyle{ 0 \frac{1}{n ^{2} } 0}\)