prawdopodobieństwo zdarzenia A lub dopełnienia B

[panisiara]

Wiadomo, że P(A)=0,5, P(B')=0.3 i P(A + B)= 0.9
Jakie jest P(A + B') ?
A jak obliczyć P(B' i A) ?

[Poodzian]

Istnieją odpowiednie wzory na obliczenie tego typu prawdopodobieństw
Nie ma ich na karcie wzorów, ale nie ma też potrzeby się ich uczyć na pamięć - można je w dość prosty i przyjemny sposób wyprowadzić, stosując tak zwane diagramy Vienna

Wyjaśnię na pierwszym z przykładów, czyli \(\displaystyle{ P(A\cup B')}\)


Całość to \(\displaystyle{ \Omega}\)
Zbiór zaznaczony na czerwono, to \(\displaystyle{ A}\), na szaro \(\displaystyle{ B}\), zaś na różowo \(\displaystyle{ A\cap B}\)

Szukane prawdopodobieństwo jest prawdopodobieństwem odnoszącym się do zbioru zaznaczonego na obrazku poniżej:


Wówczas powinno rzucić się w oczy, iż \(\displaystyle{ P(A\cup B')}\) to prawdopodobieństwo całego zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\) (\(\displaystyle{ P(\Omega)=1}\)) za wyjątkiem prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P(B)}\), jednakże z dodatkiem \(\displaystyle{ P(A\cap B)}\) (włączamy wówczas to, co niepotrzebnie wyrzuciliśmy, usuwając wcześniej \(\displaystyle{ B}\))

Zatem?
\(\displaystyle{ P(A\cup B')=1-P(B)+P(A\cap B)}\)

\(\displaystyle{ P(A\cap B)}\) wyliczymy po przekształceniach znanych zapewne wzorów \(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}\) oraz \(\displaystyle{ P(B)=1-P(B')}\)

Podobnie można rozwiązać drugi przykład