Wektory liniowo zależne - dla jakiego parametru ?

[ŚwIeRsZcZ]

Czy można dobrać parametr r tak, aby wektory \(\displaystyle{ \vec{a_{1}}=(1,r-2,1) , \vec{a_{2}}=(r,1,-1)}\) były liniowo zależne ?
Znajdź wektor \(\displaystyle{ \vec{a_{3}}}\) taki że układ \(\displaystyle{ \vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}, \vec{a_{3}}}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\)

Do tej drugiej części to poprostu muszę sprawdzić czy np. dowolnie wzięty wektor \(\displaystyle{ \vec{a_{3}}}\) uzupełnia bazę ? (liczę rząd, wyznacznik i jeśli \(\displaystyle{ \neq 0}\) to wektor uzupełnia zbiór do bazy . Zgadza się czy jakoś inną metodą trzeba do tego podejść?

Za pomoc w rozwiązaniu , z góry dziękuję .

[Madame]

Wydaje mi się, że aby te wektory były liniowo zależne \(\displaystyle{ r=-1}\)

Sprawdziłam to w ten sposób:
\(\displaystyle{ a(1,r-2,1) + b(r,1,-1)=(0,0,0)}\)
wyszło, że \(\displaystyle{ a=b}\) i \(\displaystyle{ a(1+r)=0}\)
czyli, żeby a mogło być różne od 0, to \(\displaystyle{ r=-1}\)


1 r-2 1

r 1 -1

a b c

-to ma być macierz, jeżeli ktoś byłyby tak łaskawy niech mnie oświeci jak zrobić "porządny" zapis macierzy;

Następnie trzeba obliczyć wyznacznik tej powyższej macierzy i wybrać takie, a,b,c, żeby był on różny od zera.

Czyli jest takie równanie \(\displaystyle{ -cr ^{2} + (b-a-2c)+b-a+c 0}\)

Nie wiem, myślę, że to będzie dobrze. Wtedy trzebna dobrać takie a,b,c, żeby spełniły powyższe założenie.

[ŚwIeRsZcZ]

Wydaje mi się, że aby te wektory były liniowo zależne \(\displaystyle{ r=-1}\)

Sprawdziłam to w ten sposób:
\(\displaystyle{ a(1,r-2,1) + b(r,1,-1)=(0,0,0)}\)
wyszło, że \(\displaystyle{ a=b}\) i \(\displaystyle{ a(1+r)=0}\)
czyli, żeby a mogło być różne od 0, to \(\displaystyle{ r=-1}\)

A nie powinno być że \(\displaystyle{ r -1}\) ??? *wtedy według mnie \(\displaystyle{ a}\) będzie \(\displaystyle{ \neq 0}\)

PS. Macierze zapisuje się w Latex-ie o tak (przykład macierzy 3x3):

Kod: Zaznacz cały

[tex]egin{bmatrix} a11&a12&a13\a21&a22&a23\a31&a32&a33end{bmatrix}[/tex]

[JankoS]

Wydaje mi się, że aby te wektory były liniowo zależne \(\displaystyle{ r=-1}\)

Sprawdziłam to w ten sposób:
\(\displaystyle{ a(1,r-2,1) + b(r,1,-1)=(0,0,0)}\)
wyszło, że \(\displaystyle{ a=b}\) .

Tutaj widać, że a = -b. Zeby nie przeciągać. Te wektory nie mogą być liniowo zależne, bo nie są równoległe.