Dziedzina

[typak]

Określ dziedzinę funkcji
\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{ \frac{1-x}{x-2} }}\)
I mam jedno pytanie do tego przykładu,a mianowicie.
Z własności działań na pierwiastkach mamy
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} }}\)
Jednak po rozdzieleniu funkcji zgodnie z powyższym wzorem i licząc dziedzine dla dwóch pierwiastków osobno zmienia nam się ona.
\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{ \frac{1-x}{x-2} }}\) Dziedziną jest przedział \(\displaystyle{
Z góry dzięki za pomoc}\)

[raphel]

Określ dziedzinę funkcji
\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{ \frac{1-x}{x-2} }}\)
I mam jedno pytanie do tego przykładu,a mianowicie.
Z własności działań na pierwiastkach mamy
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{b} }}\)
Jednak po rozdzieleniu funkcji zgodnie z powyższym wzorem i licząc dziedzine dla dwóch pierwiastków osobno zmienia nam się ona.
\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{ \frac{1-x}{x-2} }}\) Dziedziną jest przedział \(\displaystyle{ }\)

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ \sqrt{1-x} }{ \sqrt{x-2} }}\) Dziedziną jest zbiór pusty.

Jak należy to rozwiązać ?
Pomieszało mi się juz całkowicie
Z góry dzięki za pomoc

\(\displaystyle{ \frac{1-x}{x-2} 0 x-2 0}\)
zastępuję iloraz iloczynem

\(\displaystyle{ (1-x)(x-2) 0 x }\)

[marcinn12]

Przedewszystkim mianownik nie moze być zerem Czyli masz juz pierwsze założenie:

\(\displaystyle{ x-2 0}\)
\(\displaystyle{ x 2}\)

I teraz to co pod pierwiastkiem musi być większe lub równe 0. Tym samym otrzymujesz kolejny warunek:

\(\displaystyle{ \frac{1-x}{x-2} 0}\)
Przechodzisz do postaci iloczynowej...

\(\displaystyle{ (1-x)(x-2) 0}\)
Rysujez parabolke i odczytujesz rozwiązanie.
\(\displaystyle{ x }\)

I teraz z tego co wyżej na początku przecież odrzuciłeś dwójkę. Po uwzględnieniu wszystkiego otrzymujesz rzwiązanie że dziedziną funckji jest \(\displaystyle{ x\in}\)

[typak]

Tylko że po rozdzieleniu zmienia się dziedzina ... Albo ja nie umiem liczyc

[Crizz]

Podobnie: \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}}\)
ale \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{-1}{-4}}=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{-4}}=?}\)

Możesz "rozdzielać" taki pierwiastek, dopóki masz pewność, że otrzymane wyrażenia pod pierwiastkami po rozdzieleniu będą miały sens. Tu nie możesz mieć pewności, bo rozdzielasz wyrażenie ze zmienną, która może przyjmować różne wartości. Podobnie, dzieląc równanie \(\displaystyle{ x^{2}=x}\) obustronnie przez x, gubisz jeden pierwiastek, bo można dzielić równanie przez liczby, ale nie zmienne.

Dlatego poprawna jest wersja bez rozdzielania.

[ Dodano: 3 Stycznia 2009, 22:07 ]
Zauważ jeszcze, ze gdybyś przed rozdzieleniem pierwiastka zamieniła znaki w liczniku i wmianowniku jednocześnie, to byłoby ok.

[marcinn12]

post do skasowania bo mi sie cos pomylilo ...

[typak]

Ok rozumiem
Dziękuje za pomoc
Pozdrawiam

[Crizz]

marcinn12, rozwiązaniem tej koniunkcji jest zbiór pusty.

[ Dodano: 3 Stycznia 2009, 22:13 ]
Najłatwiej rzeczywiście rozwiązać to, zamieniając na iloczyn i nie kombinować z rozdizelaniem tego pierwiastka.

[Arst]

Podobnie: \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}}\)
ale \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{-1}{-4}}=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{-4}}=?}\)

Taka mała dywersja:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{-4}}=\frac{i}{2i}=\frac{1}{2}}\)

[Crizz]

Czepiasz się

Działamy w liczbach rzeczywistych.