wyznaczenie funkcji g

[asiunia909]

Miejscem zerowym funkcji \(\displaystyle{ f(x)=ax-3}\) jest wartość wyrażenia \(\displaystyle{ ( \frac{3}{4} - \frac{ \sqrt{3} }{2})}\)\(\displaystyle{ ( \frac{3}{4}+ \frac{ \sqrt{3} }{2} )}\)
Podaj wzór funkcji \(\displaystyle{ g}\) , której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\) i przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (8,- \frac{1}{2} )}\)

[Calasilyar]

aby obliczyc a podstawiasz za x wyrażenie z nawiasami a za f(x) (por: definicja miejsca zerowego)

g(x)=-ax+b
-a, gdyż funkcja z przeciwnym wsp. kierunkowym jest prostopadła do danej
b liczysz wykorzystując fakt,że g(8)=-0.5 (g przechodzi przez punkt (8;-0.5))

[asiunia909]

i tak tego nie rozumiem możesz mi to rozpisać?

[mmoonniiaa]

Uprościmy najpierw podane wyrażenie:
\(\displaystyle{ ( \frac{3}{4} - \frac{ \sqrt{3} }{2} )( \frac{3}{4} + \frac{ \sqrt{3} }{2} )= \frac{9}{16} - \frac{3}{4} = \frac{9}{16} - \frac{12}{16} = \frac{-3}{16}}\)

Jeśli podane wyrażenie jest miejscem zerowym, to oznacza, że właśnie dla takiego argumentu funkcja przyjmuje wartość 0.
\(\displaystyle{ f( \frac{-3}{16} )=0 \frac{-3}{16} a-3=0 \frac{-3}{16} a=3 a=-16}\)

Czyli wzór funkcji liniowej f wygląda tak: \(\displaystyle{ f(x)=-16x-3}\).

Wzór funkcji liniowej g: \(\displaystyle{ g(x)=ax+b}\)

Wyliczmy współczynnik kierunkowy a:
Wykres funkcji liniowej g ma być prostopadły do wykresu funkcji liniowej f. Konieczny jest warunek o współczynnikach kierunkowych tych prostych:
\(\displaystyle{ a_fa_g=-1 -16a_g=-1 a_g= \frac{1}{16}}\)

Wzór funkcji g: \(\displaystyle{ g(x)= \frac{1}{16} x+b}\)

Wyliczmy współczynnik b:
Skorzystamy z faktu, że wykres funkcji g przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (8; \frac{-1}{2})}\) .
\(\displaystyle{ g(8)= \frac{-1}{2} \frac{1}{16} 8+b= \frac{-1}{2} b=-1}\)

Wzór funkcji g: \(\displaystyle{ g(x)= \frac{1}{16} x-1}\)