Równanie wielomianowe z parametrem

[menus20]

Dla jakich wartości parametru m równanie:
a) \(\displaystyle{ x^{4} + (m-3)x ^{2} + m ^{2}=0}\) ma cztery różne rozwiązania?
b) \(\displaystyle{ x ^{4} + 2(m-2)x ^{2} + m^{2} - 1=0}\) ma dwa różne pierwiastki?
c) \(\displaystyle{ x ^{4} + (1-2m)x^{2} + 2m^{2} + \frac{1}{4} = 0}\) nie ma rozwiązań?

[Goter]

a)

\(\displaystyle{ t = x^2\\
t^2+(m-3)t+m^2=0\\
\Delta = (m-3)^2-4m^2 = m^2-6m+9-4m^2 = -3m^2-6m+9\\}\)

Żeby wyjściowe równanie miało 4 rozwiązania, równanie z t musi mieć dwa różne pierwiastki dodatnie.

Teraz Delta>0 i ze wzorów Vieta (suma pierwiastków dodatnia, iloczyn pierwiastków dodatni):

\(\displaystyle{ \begin{cases}
-3m^2-6m+9>0 \Rightarrow m \in (-3,1)\\
\frac{-(m-3)}{1}>0 \Rightarrow -m+3>0 m < (-\infty,3)\\
\frac{m^2}{1}>0 m 0
\end{cases}}\)

Czyli odpowiedź to \(\displaystyle{ m (-3,0) \cup (0,1)}\)

[menus20]

skoro suma pierwiastków to \(\displaystyle{ -m + 3}\) to jak ich iloczyn może wynosić
\(\displaystyle{ m ^ {2}}\)????

[ Dodano: 4 Stycznia 2009, 13:46 ]
ok już rozumiem