[Wielomiany] Pierwiastki wielomianu

[kubek1]

Wykaż, że wielomian:
\(\displaystyle{ W(x)=1+x+x^2+x^3+...+x^{2n}}\), gdzie n jest liczbą naturalną, nie posiada pierwiastków rzeczywistych.

[Tomek_Z]

Wyrazy tego wielomianu tworzą szereg geometryczny dla \(\displaystyle{ x (-1;1)}\), którego suma wynosi \(\displaystyle{ S = \frac{1}{1-x}}\), czyli \(\displaystyle{ W(x) = \frac{1}{1-x}}\). Licznik nigdy nie będzie zerem, zatem wielomian faktycznie nie ma pierwiastków.

[Wasilewski]

Ale to jest skończona suma. Można na przykład zauważyć, że gdy x nie jest równy 1, to:
\(\displaystyle{ W(x) = \frac{x^{2n+1} - 1}{x-1}}\)
Zatem pierwiastki tego wielomianu to pierwiastki algebraiczne stopnia 2n+1 z jedynki, oprócz samej jedynki. A one nie są rzeczywiste, bo mają postać:
\(\displaystyle{ x_{k} = cos \frac{2k\pi}{2n+1} + i sin (\frac{2k\pi}{2n+1}), dla \ k \{1,2, \ldots, 2n\}}\)
Czyli argument sinusa nie jest postaci \(\displaystyle{ k\pi}\).

[kubek1]

Nie o to chodziło w tym zadaniu. Wielomian ten nie jest sumą nieskończoną, tylko skończoną, bo jest stopnia 2n

[Sylwek]

Blisko, ale to nie jest nieskończony szereg geometryczny, tylko ciąg geometryczny. Wystarczy sprawdzić x=1, a dla pozostałych zwinąć w:

\(\displaystyle{ \frac{1-x^{2n+1}}{1-x}}\)

Zatem pierwiastki tego wielomianu to pierwiastki algebraiczne stopnia 2n+1 z jedynki, oprócz samej jedynki. A one nie są rzeczywiste, bo mają postać

Ja bym przyrównał licznik do zera - po wyciągnięciu pierwiastka stopnia \(\displaystyle{ 2n+1}\) wyszłoby, że x=1, ale nie spełnia on założenia, że x jest różny od 1

No i troszkę się spóźniłem poza tym.

[kubek1]

Dzięki wszyscy jakoś tu piszą w jednym momencie

[ Dodano: 3 Stycznia 2009, 23:36 ]
Mam jeszcze jedno pytanie:
A jak tu uzasadnić, że nierówność \(\displaystyle{ W(x)>0}\) jest spełniona dla x rzeczywistych?

[Sylwek]

Wykaż, że licznik i mianownik wyrażenia: \(\displaystyle{ \frac{1-x^{2n+1}}{1-x}}\) zawsze mają te same znaki. Został przypadek x=1, ale on nie jest ciężki ^^

[kubek1]

Jeszcze raz wielkie dzięki