[Wielomiany] Pierwiastki wielomianu
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 249
- Rejestracja: 15 wrz 2008, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Syberia
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 32 razy
[Wielomiany] Pierwiastki wielomianu
Wykaż, że wielomian:
\(\displaystyle{ W(x)=1+x+x^2+x^3+...+x^{2n}}\), gdzie n jest liczbą naturalną, nie posiada pierwiastków rzeczywistych.
\(\displaystyle{ W(x)=1+x+x^2+x^3+...+x^{2n}}\), gdzie n jest liczbą naturalną, nie posiada pierwiastków rzeczywistych.
-
- Użytkownik
- Posty: 807
- Rejestracja: 9 gru 2007, o 14:39
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 181 razy
[Wielomiany] Pierwiastki wielomianu
Wyrazy tego wielomianu tworzą szereg geometryczny dla \(\displaystyle{ x (-1;1)}\), którego suma wynosi \(\displaystyle{ S = \frac{1}{1-x}}\), czyli \(\displaystyle{ W(x) = \frac{1}{1-x}}\). Licznik nigdy nie będzie zerem, zatem wielomian faktycznie nie ma pierwiastków.
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
[Wielomiany] Pierwiastki wielomianu
Ale to jest skończona suma. Można na przykład zauważyć, że gdy x nie jest równy 1, to:
\(\displaystyle{ W(x) = \frac{x^{2n+1} - 1}{x-1}}\)
Zatem pierwiastki tego wielomianu to pierwiastki algebraiczne stopnia 2n+1 z jedynki, oprócz samej jedynki. A one nie są rzeczywiste, bo mają postać:
\(\displaystyle{ x_{k} = cos \frac{2k\pi}{2n+1} + i sin (\frac{2k\pi}{2n+1}), dla \ k \{1,2, \ldots, 2n\}}\)
Czyli argument sinusa nie jest postaci \(\displaystyle{ k\pi}\).
\(\displaystyle{ W(x) = \frac{x^{2n+1} - 1}{x-1}}\)
Zatem pierwiastki tego wielomianu to pierwiastki algebraiczne stopnia 2n+1 z jedynki, oprócz samej jedynki. A one nie są rzeczywiste, bo mają postać:
\(\displaystyle{ x_{k} = cos \frac{2k\pi}{2n+1} + i sin (\frac{2k\pi}{2n+1}), dla \ k \{1,2, \ldots, 2n\}}\)
Czyli argument sinusa nie jest postaci \(\displaystyle{ k\pi}\).
Ostatnio zmieniony 3 sty 2009, o 23:29 przez Wasilewski, łącznie zmieniany 1 raz.
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
[Wielomiany] Pierwiastki wielomianu
Blisko, ale to nie jest nieskończony szereg geometryczny, tylko ciąg geometryczny. Wystarczy sprawdzić x=1, a dla pozostałych zwinąć w:
\(\displaystyle{ \frac{1-x^{2n+1}}{1-x}}\)
Ja bym przyrównał licznik do zera - po wyciągnięciu pierwiastka stopnia \(\displaystyle{ 2n+1}\) wyszłoby, że x=1, ale nie spełnia on założenia, że x jest różny od 1
No i troszkę się spóźniłem poza tym.
\(\displaystyle{ \frac{1-x^{2n+1}}{1-x}}\)
Wasilewski pisze:Zatem pierwiastki tego wielomianu to pierwiastki algebraiczne stopnia 2n+1 z jedynki, oprócz samej jedynki. A one nie są rzeczywiste, bo mają postać
Ja bym przyrównał licznik do zera - po wyciągnięciu pierwiastka stopnia \(\displaystyle{ 2n+1}\) wyszłoby, że x=1, ale nie spełnia on założenia, że x jest różny od 1
No i troszkę się spóźniłem poza tym.
-
- Użytkownik
- Posty: 249
- Rejestracja: 15 wrz 2008, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Syberia
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 32 razy
[Wielomiany] Pierwiastki wielomianu
Dzięki wszyscy jakoś tu piszą w jednym momencie
[ Dodano: 3 Stycznia 2009, 23:36 ]
Mam jeszcze jedno pytanie:
A jak tu uzasadnić, że nierówność \(\displaystyle{ W(x)>0}\) jest spełniona dla x rzeczywistych?
[ Dodano: 3 Stycznia 2009, 23:36 ]
Mam jeszcze jedno pytanie:
A jak tu uzasadnić, że nierówność \(\displaystyle{ W(x)>0}\) jest spełniona dla x rzeczywistych?
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
[Wielomiany] Pierwiastki wielomianu
Wykaż, że licznik i mianownik wyrażenia: \(\displaystyle{ \frac{1-x^{2n+1}}{1-x}}\) zawsze mają te same znaki. Został przypadek x=1, ale on nie jest ciężki ^^