całki nieoznaczone, wymierne
-
- Użytkownik
- Posty: 3393
- Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 466 razy
- Pomógł: 197 razy
całki nieoznaczone, wymierne
\(\displaystyle{ \int \frac{x}{(x^2+4)^2}dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x^2+1)^3}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x^2+1)^3}}\)
Ostatnio zmieniony 3 sty 2009, o 17:51 przez mat1989, łącznie zmieniany 1 raz.
- gufox
- Użytkownik
- Posty: 978
- Rejestracja: 28 paź 2008, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 56 razy
- Pomógł: 89 razy
całki nieoznaczone, wymierne
ad 1
\(\displaystyle{ \int \frac{x}{(x^2+4)^2}dx=\begin{bmatrix} x ^{2}+4=t \\ 2xdx=dt \\ xdx= \frac{1}{2} dt \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\int \frac{dt}{t ^{2} }=- \frac{1}{2} \frac{1}{t}+C = - \frac{1}{2} \frac{1}{x ^{2}+4 }+C}\)
ad 2
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x ^{2}+1) ^{3} } = \frac{x}{4(x ^{2}+1) ^{2} }+ \frac{3}{4} t \frac{dx}{(x ^{2} +1) ^{2} } = \frac{x}{4(x ^{2} +1) ^{2} }+ \frac{3x}{8(x ^{2}+1) } + \frac{1}{2} t \frac{dx}{x ^{2}+1 }= \frac{x}{4(x ^{2} +1) ^{2} }+ \frac{3x}{8(x ^{2}+1) } + \frac{1}{2} arctgx+C}\)
chyba tak to bedzie z takiego wzoru
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x ^{2}+1) ^{n} } = \frac{1}{2n-2} \frac{x}{(x ^{2}+1) ^{n-1} } + \frac{2n-3}{2n-2} \frac{dx}{(x ^{2}+1) ^{n-1} }}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{x}{(x^2+4)^2}dx=\begin{bmatrix} x ^{2}+4=t \\ 2xdx=dt \\ xdx= \frac{1}{2} dt \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\int \frac{dt}{t ^{2} }=- \frac{1}{2} \frac{1}{t}+C = - \frac{1}{2} \frac{1}{x ^{2}+4 }+C}\)
ad 2
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x ^{2}+1) ^{3} } = \frac{x}{4(x ^{2}+1) ^{2} }+ \frac{3}{4} t \frac{dx}{(x ^{2} +1) ^{2} } = \frac{x}{4(x ^{2} +1) ^{2} }+ \frac{3x}{8(x ^{2}+1) } + \frac{1}{2} t \frac{dx}{x ^{2}+1 }= \frac{x}{4(x ^{2} +1) ^{2} }+ \frac{3x}{8(x ^{2}+1) } + \frac{1}{2} arctgx+C}\)
chyba tak to bedzie z takiego wzoru
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x ^{2}+1) ^{n} } = \frac{1}{2n-2} \frac{x}{(x ^{2}+1) ^{n-1} } + \frac{2n-3}{2n-2} \frac{dx}{(x ^{2}+1) ^{n-1} }}\)
Ostatnio zmieniony 3 sty 2009, o 18:12 przez gufox, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
całki nieoznaczone, wymierne
Spróbuj w ten sposób:
\(\displaystyle{ \int \frac{1 + x^2 -x^2}{(x^2+1)^3}dx = t \frac{dx}{(x^2 + 1)^2} - t \frac{x^2 dx}{(x^2+1)^3}}\)
Z pierwszą całką robisz ten sam manewr, a drugą liczysz przez części.
\(\displaystyle{ \int \frac{1 + x^2 -x^2}{(x^2+1)^3}dx = t \frac{dx}{(x^2 + 1)^2} - t \frac{x^2 dx}{(x^2+1)^3}}\)
Z pierwszą całką robisz ten sam manewr, a drugą liczysz przez części.
-
- Użytkownik
- Posty: 92
- Rejestracja: 6 lis 2008, o 01:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gorzów Wlkp/Poznan
- Pomógł: 8 razy
całki nieoznaczone, wymierne
no jak dla mnie to na ulamki proste:
\(\displaystyle{ \frac{dx}{(x ^{2}+1) ^{3} } = \frac{Ax+B}{x ^{2}+1} + \frac{Cx+D}{x ^{2}+1} +
\frac{Ex+F}{x ^{2}+1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dx}{(x ^{2}+1) ^{3} } = \frac{Ax+B}{x ^{2}+1} + \frac{Cx+D}{x ^{2}+1} +
\frac{Ex+F}{x ^{2}+1}}\)
- Dedemonn
- Użytkownik
- Posty: 689
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z kompa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 137 razy
całki nieoznaczone, wymierne
Takie będą:
\(\displaystyle{ \frac{dx}{(x ^{2}+1) ^{3} } = \frac{Ax+B}{x ^{2}+1} + \frac{Cx+D}{(x ^{2}+1)^2} +
\frac{Ex+F}{(x ^{2}+1)^3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dx}{(x ^{2}+1) ^{3} } = \frac{Ax+B}{x ^{2}+1} + \frac{Cx+D}{(x ^{2}+1)^2} +
\frac{Ex+F}{(x ^{2}+1)^3}}\)
- Dedemonn
- Użytkownik
- Posty: 689
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z kompa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 137 razy
całki nieoznaczone, wymierne
Wystarczy prześledzić w jaki sposób wspomniany wzór na całki typu
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x^2+a)^n}dx}\)
jest wyprowadzany i tym samym sposobem policzyć dany przykład.
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x^2+a)^n}dx}\)
jest wyprowadzany i tym samym sposobem policzyć dany przykład.
-
- Użytkownik
- Posty: 92
- Rejestracja: 6 lis 2008, o 01:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gorzów Wlkp/Poznan
- Pomógł: 8 razy
całki nieoznaczone, wymierne
to fakt. sorry, moj blad i przeoczenie. na kartce mialem, a tutaj nie przepisalemDedemonn pisze:Takie będą:
\(\displaystyle{ \frac{dx}{(x ^{2}+1) ^{3} } = \frac{Ax+B}{x ^{2}+1} + \frac{Cx+D}{(x ^{2}+1)^2} +
\frac{Ex+F}{(x ^{2}+1)^3}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
całki nieoznaczone, wymierne
Tak się składa, że \(\displaystyle{ \tfrac{1}{(1+x^2)^3}}\) to już jest ułamek prosty.
Zatem ten "rozkład" w postach suervana i Dedemonna nie ma sensu.
Zatem ten "rozkład" w postach suervana i Dedemonna nie ma sensu.
-
- Użytkownik
- Posty: 92
- Rejestracja: 6 lis 2008, o 01:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gorzów Wlkp/Poznan
- Pomógł: 8 razy
całki nieoznaczone, wymierne
\(\displaystyle{ \int \frac{1 + x^2 -x^2}{(x^2+1)^3}dx = t \frac{dx}{(x^2 + 1)^2} - t \frac{x^2 dx}{(x^2+1)^3}=}\)
rozwiaze Ci pierwsza, druga bedzie analogicznie ( wzor ktory podal gufox na poczatku jest jak najbardziej poprawny, ale... to kolejny do spamietania sposrod miliona. mozna po prsotu przez czesci :
\(\displaystyle{ u= \frac{1}{(x ^{2}+1) ^{2}} , dv=1}\)
\(\displaystyle{ du= \frac{-4x}{x ^{2}+1 } , v=x}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{(x ^{2}+1) ^{2}} +4 t \frac{x ^{2}+1-1 dx}{x ^{2}+1 } =}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{(x ^{2}+1) ^{2}}+4x-4arctgx+C}\)
oczywiscie Luka ma racje. moj blad.
rozwiaze Ci pierwsza, druga bedzie analogicznie ( wzor ktory podal gufox na poczatku jest jak najbardziej poprawny, ale... to kolejny do spamietania sposrod miliona. mozna po prsotu przez czesci :
\(\displaystyle{ u= \frac{1}{(x ^{2}+1) ^{2}} , dv=1}\)
\(\displaystyle{ du= \frac{-4x}{x ^{2}+1 } , v=x}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{(x ^{2}+1) ^{2}} +4 t \frac{x ^{2}+1-1 dx}{x ^{2}+1 } =}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{(x ^{2}+1) ^{2}}+4x-4arctgx+C}\)
oczywiscie Luka ma racje. moj blad.
-
- Użytkownik
- Posty: 3393
- Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 466 razy
- Pomógł: 197 razy
całki nieoznaczone, wymierne
\(\displaystyle{ \int \frac{(x^2-5x+9)dx}{x^2+5x+6}}\)
dzielimy licznik przez mianownik i mamy \(\displaystyle{ \int x dx+\int \frac{(-10x+3) dx}{x^2+5x+6}}\)
i pierwszą do postaci kanonicznej?
a z drugą sprowadzić licznik do pochodnej mianownika?
dzielimy licznik przez mianownik i mamy \(\displaystyle{ \int x dx+\int \frac{(-10x+3) dx}{x^2+5x+6}}\)
i pierwszą do postaci kanonicznej?
a z drugą sprowadzić licznik do pochodnej mianownika?
Ostatnio zmieniony 11 sty 2009, o 18:16 przez mat1989, łącznie zmieniany 2 razy.