całki nieoznaczone, wymierne

[mat1989]

\(\displaystyle{ \int \frac{x}{(x^2+4)^2}dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x^2+1)^3}}\)

[gufox]

ad 1

\(\displaystyle{ \int \frac{x}{(x^2+4)^2}dx=\begin{bmatrix} x ^{2}+4=t \\ 2xdx=dt \\ xdx= \frac{1}{2} dt \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\int \frac{dt}{t ^{2} }=- \frac{1}{2} \frac{1}{t}+C = - \frac{1}{2} \frac{1}{x ^{2}+4 }+C}\)

ad 2

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x ^{2}+1) ^{3} } = \frac{x}{4(x ^{2}+1) ^{2} }+ \frac{3}{4} t \frac{dx}{(x ^{2} +1) ^{2} } = \frac{x}{4(x ^{2} +1) ^{2} }+ \frac{3x}{8(x ^{2}+1) } + \frac{1}{2} t \frac{dx}{x ^{2}+1 }= \frac{x}{4(x ^{2} +1) ^{2} }+ \frac{3x}{8(x ^{2}+1) } + \frac{1}{2} arctgx+C}\)

chyba tak to bedzie z takiego wzoru

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x ^{2}+1) ^{n} } = \frac{1}{2n-2} \frac{x}{(x ^{2}+1) ^{n-1} } + \frac{2n-3}{2n-2} \frac{dx}{(x ^{2}+1) ^{n-1} }}\)

[mat1989]

co jest w liczniku?

sorry, tak ma być jak teraz jest:)

[Wasilewski]

Spróbuj w ten sposób:
\(\displaystyle{ \int \frac{1 + x^2 -x^2}{(x^2+1)^3}dx = t \frac{dx}{(x^2 + 1)^2} - t \frac{x^2 dx}{(x^2+1)^3}}\)
Z pierwszą całką robisz ten sam manewr, a drugą liczysz przez części.

[suervan]

no jak dla mnie to na ulamki proste:

\(\displaystyle{ \frac{dx}{(x ^{2}+1) ^{3} } = \frac{Ax+B}{x ^{2}+1} + \frac{Cx+D}{x ^{2}+1} +
\frac{Ex+F}{x ^{2}+1}}\)

[mat1989]

suervan, ale takie będą mianowniki w tych ułamkach?

[Dedemonn]

Takie będą:

\(\displaystyle{ \frac{dx}{(x ^{2}+1) ^{3} } = \frac{Ax+B}{x ^{2}+1} + \frac{Cx+D}{(x ^{2}+1)^2} +
\frac{Ex+F}{(x ^{2}+1)^3}}\)

[gufox]

a nie prosciej do wzoru, niz bawic sie w rozklad na ulamki proste?

[mat1989]

gufox, no ale nie wiem czy ten wzór jest taki podstawowy. zawsze chyba lepiej samemu wyliczyć.

[gufox]

to policz po swojemu zobaczymy czy wyjdzie tak samo

[Dedemonn]

Wystarczy prześledzić w jaki sposób wspomniany wzór na całki typu

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x^2+a)^n}dx}\)

jest wyprowadzany i tym samym sposobem policzyć dany przykład.

[suervan]

Takie będą:

\(\displaystyle{ \frac{dx}{(x ^{2}+1) ^{3} } = \frac{Ax+B}{x ^{2}+1} + \frac{Cx+D}{(x ^{2}+1)^2} +
\frac{Ex+F}{(x ^{2}+1)^3}}\)

to fakt. sorry, moj blad i przeoczenie. na kartce mialem, a tutaj nie przepisalem

[luka52]

Tak się składa, że \(\displaystyle{ \tfrac{1}{(1+x^2)^3}}\) to już jest ułamek prosty.
Zatem ten "rozkład" w postach suervana i Dedemonna nie ma sensu.

[suervan]

\(\displaystyle{ \int \frac{1 + x^2 -x^2}{(x^2+1)^3}dx = t \frac{dx}{(x^2 + 1)^2} - t \frac{x^2 dx}{(x^2+1)^3}=}\)
rozwiaze Ci pierwsza, druga bedzie analogicznie ( wzor ktory podal gufox na poczatku jest jak najbardziej poprawny, ale... to kolejny do spamietania sposrod miliona. mozna po prsotu przez czesci :

\(\displaystyle{ u= \frac{1}{(x ^{2}+1) ^{2}} , dv=1}\)
\(\displaystyle{ du= \frac{-4x}{x ^{2}+1 } , v=x}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{(x ^{2}+1) ^{2}} +4 t \frac{x ^{2}+1-1 dx}{x ^{2}+1 } =}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{(x ^{2}+1) ^{2}}+4x-4arctgx+C}\)

oczywiscie Luka ma racje. moj blad.

[mat1989]

\(\displaystyle{ \int \frac{(x^2-5x+9)dx}{x^2+5x+6}}\)
dzielimy licznik przez mianownik i mamy \(\displaystyle{ \int x dx+\int \frac{(-10x+3) dx}{x^2+5x+6}}\)
i pierwszą do postaci kanonicznej?
a z drugą sprowadzić licznik do pochodnej mianownika?