Witam Wszystkich,
Potrzebuję pomocy w wyliczeniu transformaty Fouriera funkcji cosinus.
Do tej pory na zajęciach robiliśmy przykłady, w których funkcja okresowa była ograniczona jakimś przedziałem [a; b] (dokładniej, w reszcie dziedziny wynosiła 0) i po podstawieniu jej do wzoru:
\(\displaystyle{ F(\omega) = \int\limits_{a}^{b} f(t) e^{-i \omega t} dt}\)
wszystko ładnie wychodziło.
Tym razem funkcja jest określona na przedziale liczb rzeczywistych i ten wzór traci sens. Nie będę przecież podstawiał nieskończoności do sinusa. Czasem stosowaliśmy wzory Eulera do rozpisania cosinusa, ale to też nie zdaje egzaminu, bo wychodzi nieoznaczoność po scałkowaniu.
Prowadzący wspomniał coś o delcie Diraca i liczeniu "jakby w granicy". Niestety nie podał żadnych konkretów, a ja o wspomnianej delcie nigdy nie słyszałem (tzn. definicję wyszukać potrafię, ale sucha wiedza bez doświadczenia wiele mi nie pomaga).
Funkcja z zadania wygląda dokładnie tak:
\(\displaystyle{ f(x) = \cos (\omega_{0} t)}\)
W Internecie znalazłem tablicę różnych funkcji i ich transformat. Wg niej wynik powinien być następujący:
\(\displaystyle{ \pi [\delta (\omega - \omega_{0}) + \delta (\omega + \omega_{0}) ]}\)
Mógłby ktoś krok po kroku pokazać, jak to zrobić oraz przedstawić w jakiś user-friendly sposób teorię niezbędną do tego zadania? Chodzi mi głównie o tą deltę Diraca, bo samą transformatę rozumiem.
Pozdrawiam.
P.S.
pierwsze zetknięcie z Latex'em. Jeśli coś się wykrzaczyło, właśnie to poprawiam.
Edit: Ok, wszystko jest w porządku.
Transformata Fouriera funkcji cosinus
-
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
Transformata Fouriera funkcji cosinus
A nie wystarczy wprost z definicji liczb zespolonych, tj:
\(\displaystyle{ f(t)=\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{i(\omega_0 t)}+e^{-i(\omega_0 t)}}{2}=
\frac{1}{2} e^{i(\omega_0 t)}+\frac{1}{2}e^{-i(\omega_0 t)}}\)
??
Nie ma zbytnio sensu tego calkowac A za a i b bierzesz jeden okres funkcji cosinus Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ f(t)=\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{i(\omega_0 t)}+e^{-i(\omega_0 t)}}{2}=
\frac{1}{2} e^{i(\omega_0 t)}+\frac{1}{2}e^{-i(\omega_0 t)}}\)
??
Nie ma zbytnio sensu tego calkowac A za a i b bierzesz jeden okres funkcji cosinus Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 3 sty 2009, o 12:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nysa/Wrocław
- Podziękował: 1 raz
Transformata Fouriera funkcji cosinus
No raczej nie wystarczy.
To jest właśnie wzorek Eulera, o którym wspominałem. Po prostu w inny sposób zapisałeś funkcję f(x), a tutaj trzeba policzyć jej transformatę Fouriera. Żeby to zrobić, jest wzór, w którym całka występuje, więc całkować trzeba. A problem właśnie w tym, że z powodu niefajnego przedziału całkowania nie wychodzi łatwo konkretny wynik. Podobno z pomocą przychodzi właśnie delta Diraca, ale nie są mi znane szczegóły. ;( Pewnie jakiś trik.
Ktokolwiek słyszał, ktokolwiek wie?
To jest właśnie wzorek Eulera, o którym wspominałem. Po prostu w inny sposób zapisałeś funkcję f(x), a tutaj trzeba policzyć jej transformatę Fouriera. Żeby to zrobić, jest wzór, w którym całka występuje, więc całkować trzeba. A problem właśnie w tym, że z powodu niefajnego przedziału całkowania nie wychodzi łatwo konkretny wynik. Podobno z pomocą przychodzi właśnie delta Diraca, ale nie są mi znane szczegóły. ;( Pewnie jakiś trik.
Ktokolwiek słyszał, ktokolwiek wie?
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Transformata Fouriera funkcji cosinus
Z def. delta Diraca to \(\displaystyle{ 2 \pi \delta (\omega) = t_{-\infty}^{+\infty} e^{- i \omega t} \; \mbox d t}\).
Dalej to już zwykłe zastosowanie poznanej wiedzy, gdyż:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- i (\omega \omega_0) t} \; \mbox d t = 2 \pi \delta (\omega \omega_0)}\).
Co wystarcza by wyprowadzić podany przez Ciebie wzór.
Dalej to już zwykłe zastosowanie poznanej wiedzy, gdyż:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- i (\omega \omega_0) t} \; \mbox d t = 2 \pi \delta (\omega \omega_0)}\).
Co wystarcza by wyprowadzić podany przez Ciebie wzór.
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 3 sty 2009, o 12:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nysa/Wrocław
- Podziękował: 1 raz
Transformata Fouriera funkcji cosinus
A ja ciągle trafiałem na inną definicję i stąd był problem. Teraz poszło bez problemu. Wielkie dzięki.luka52 pisze:Z def. delta Diraca to \(\displaystyle{ 2 \pi \delta (\omega) = t_{-\infty}^{+\infty} e^{- i \omega t} \; \mbox d t}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 18 paź 2011, o 12:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 5 razy
Transformata Fouriera funkcji cosinus
Może mi ktoś powiedzieć jak dojść do czegoś takiego z definicji delty Diraca?luka52 pisze:Z def. delta Diraca to \(\displaystyle{ 2 \pi \delta (\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- i \omega t} \; \mbox d t}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Transformata Fouriera funkcji cosinus
dziabong, skoro
\(\displaystyle{ \mathcal{F} \left[ \delta (t) \right] (\omega ) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta (t) e^{- i\omega t} \; \mbox d t = 1}\),
to
\(\displaystyle{ \mathcal{F}^{-1} \left[ 1 \right] (t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i \omega t} \; \mbox d \omega = \delta (t)}\)
zatem
\(\displaystyle{ 2 \pi \delta (t) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i \omega t} \; \mbox d \omega = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i \omega t} \; \mbox d \omega}\)