zbadać zbieżność

[ranisz1980]

Zbadać zbieżność szeregu: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{( \frac{n}{e}) ^{n} }{n!}}\)

[max]

Rozbieżny:
Pierwszy sposób - i kryterium ilorazowe z rozbieżnym \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}\).
Drugi sposób - wspomagane regułą de l'Hospitala, lub wzorem Taylora, np:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}} - 1\right) = \lim_{n\to\infty}n\left(\frac{e}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}} - 1\right) = \lim_{n\to\infty}n\left(e^{1 - n\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)} - 1\right)}\)
Z wzoru Taylora dla logarytmu naturalnego w otoczeniu 1, mamy:
\(\displaystyle{ \ln(1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})}\)
Zatem:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}n\left(e^{1 - n\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)} - 1\right) = \lim_{n\to\infty}n\left(e^{1 - n\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^{2}} + o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right)} - 1\right) =\\
= \lim_{n\to\infty}\frac{e^{\frac{1}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right)} - 1}{\frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)}\cdot \frac{\frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}} = \frac{1}{2}}\)

gdyż \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{e^{x} - 1}{x} = 1}\)
I na mocy kryterium Raabego badany szereg jest rozbieżny.