walec wpisany w stożek

[adacho90]

W stożek wpisano walec w ten sposób, że dolna podstawa walca zawiera się w podstawie stożka, a okrąg górnej podstawy walca zawiera się w powierzchni bocznej stożka. Kąt rozwarcia stożka jest prosty. Pole powierzchni całkowitej walca jest równe polu powierzchni bocznej stożka. Udowodnij, że odległość stożka od górnej podstawy walca jest równa połowie długości tworzącej stożka.

[Sherlock]

Kod: Zaznacz cały

http://odsiebie.com

\(\displaystyle{ 2\pi |DF|^2 + 2\pi |DF| |IF|=\pi |CF| |AC|}\)

Korzystamy z podobieństwa trójkątów

\(\displaystyle{ |DF|=|GI|=|AI|}\)

\(\displaystyle{ |IF|=|CF|-|AI|}\)

czyli:
\(\displaystyle{ 2\pi |AI|^2 + 2\pi |AI| (|CF|-|AI|)=\pi |CF| |AC|}\)
\(\displaystyle{ 2|AI|^2 + 2|AI| |CF|-2|AI|^2=|CF| |AC|}\)
\(\displaystyle{ 2|AI|=|AC|}\)