całka z funkcja wykładnicza
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 18 lis 2008, o 13:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Mysłowice
- Podziękował: 12 razy
całka z funkcja wykładnicza
Jak poradzić sobie z taką całką?
\(\displaystyle{ \int \frac{2^{3x}+2^{x}}{2^{x}+1}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{2^{3x}+2^{x}}{2^{x}+1}}\)
Ostatnio zmieniony 2 sty 2009, o 19:23 przez asia1010, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
całka z funkcja wykładnicza
Mamy \(\displaystyle{ \int\frac{2^{3x}+2^x}{2^x+1}dx=\int\frac{2^{3x}+2^{2x}-2^{2x}-2^x+2\cdot 2^x}{2^x+1}dx=\int 2^{2x}dx-\int 2^xdx+\int\frac{2^{x+1}}{2^x+1}dx=\frac{4^x}{\ln 4}-\frac{2^x}{\ln 2}+2\int\frac{2^x}{2^x+1}dx=\frac{2^{2x-1}}{\ln 2}-\frac{2^x}{\ln 2}+\frac{2}{\ln 2}\ln(2^x+1)+C}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
całka z funkcja wykładnicza
\(\displaystyle{ 2^{3x}+2^x=2^{3x}+2^{2x}-2^{2x}-2^x+2\cdot 2^x=2^{2x}(2^x+1)-2^x(2^x+1)+2^{x+1}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
całka z funkcja wykładnicza
mat1989, możesz też po prostu podstawić \(\displaystyle{ t = 2^x}\) - otrzymasz całkę funkcji wymiernej (a to już chyba nie problem?).
-
- Użytkownik
- Posty: 92
- Rejestracja: 6 lis 2008, o 01:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gorzów Wlkp/Poznan
- Pomógł: 8 razy
całka z funkcja wykładnicza
dodajac 1 i odejmujac 1 w liczniku otrzymasz
\(\displaystyle{ 2 t dx - t \frac{1}{2 ^{x} +1}dx}\) co nie stanowi juz chyba problemu... ( ? )
\(\displaystyle{ 2 t dx - t \frac{1}{2 ^{x} +1}dx}\) co nie stanowi juz chyba problemu... ( ? )
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 18 lis 2008, o 13:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Mysłowice
- Podziękował: 12 razy
całka z funkcja wykładnicza
no szczerze, to stanowi. Bo z tej pierwszej całki przecież wyjdzie 2x a nie ma tego nigdzie w rozwiązaniu. No i jeszcze jak policzyć tą drugą?[/latex]
-
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
całka z funkcja wykładnicza
No bo nie tak sie to rozwiazuje
\(\displaystyle{ \int \frac{2^x}{2^x+1}\mbox{d}x=\left\{\begin{array}{c}
2^x=t\\
2^x\ln 2\mbox{d}x=\mbox{d}t\\
2^x\mbox{d}x=\frac{\mbox{d}t}{\ln 2}
\end{array}\right\}=
\frac{1}{\ln 2} t \frac{\mbox{d}t}{t+1}=
\frac{\ln|t+1|}{\ln 2}+C=
\frac{\ln|2^x+1|}{\ln 2}+C=
\frac{\ln(2^x+1)}{\ln 2}+C}\)
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ \int \frac{2^x}{2^x+1}\mbox{d}x=\left\{\begin{array}{c}
2^x=t\\
2^x\ln 2\mbox{d}x=\mbox{d}t\\
2^x\mbox{d}x=\frac{\mbox{d}t}{\ln 2}
\end{array}\right\}=
\frac{1}{\ln 2} t \frac{\mbox{d}t}{t+1}=
\frac{\ln|t+1|}{\ln 2}+C=
\frac{\ln|2^x+1|}{\ln 2}+C=
\frac{\ln(2^x+1)}{\ln 2}+C}\)
Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 2 sty 2009, o 18:24 przez soku11, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 18 lis 2008, o 13:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Mysłowice
- Podziękował: 12 razy
całka z funkcja wykładnicza
dzieki za pomoc. juz wszystko jasne (tam w dwóch miejscach powinno byc (t+1) i wszystko sie zgadza:)