Całka z funkcji niewymiernej z trójmianem kw. pod pierw,

[GrześQ]

Jak dać sobie radę z taką całką?
\(\displaystyle{ \int x^2 \sqrt{4-x^2}}\)

[Dedemonn]

\(\displaystyle{ \int x^2 \sqrt{4-x^2} = t \frac{4x^2-x^4}{\sqrt{4-x^2}}dx}\)

Korzystamy z metody współczynników nieoznaczonych:

\(\displaystyle{ \int \frac{4x^2-x^4}{\sqrt{4-x^2}}dx = (ax^3+bx^2+cx+d)\sqrt{4-x^2} + t \frac{A}{\sqrt{4-x^2}}dx}\)

Obie strony równości różniczkujemy, następnie mnożymy przez \(\displaystyle{ \sqrt{4-x^2}}\) i wyliczamy współczynniki a, b, c, d, A.


Pzdr o hepi niu jer.

[GrześQ]

Metoda współczynników nieoznaczonych? A można rozwiązać tą całkę jakimś innym sposobem?

[luka52]

1. podst. \(\displaystyle{ 2 \sin t = x}\) (lub z kosinusem)
2. przez części \(\displaystyle{ u = x, \; \; \mbox d v = x \sqrt{4 - x^2} \; \mbox d x}\)
3. podst. \(\displaystyle{ t = \sqrt{\frac{4 - x^2}{x^2}}}\) (patrz https://matematyka.pl/33970.htm )

[GrześQ]

Proszę o sprawdzenie i pomoc w zapisaniu tego w prostszej postaci:

\(\displaystyle{ \int x^2 \sqrt{4-x^2}dx = \binom{x = 2 \sin t}{dx = 2 \cos t dt} \binom{\frac{x}{2} = sint}{t = arcsin \frac{x}{2}} = t 4 \sin^2 t \sqrt{4-4\sin^2 t} 2 \cos t dt = t 8\sin^2 t \sqrt{1-\sin^2 t} 2 \cos t dt = 16 t \sin^2 t \cos^2 t dt = 16 t \frac{sin^2 2t}{4}dt = 2 t (1- \cos 4t)dt = 2 t dt - 2\int \cos 4t dt = 2t - \frac{1}{2} \sin 4t = 2t - \frac{1}{2} \sin 4t = 2 \arcsin \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (4 \arcsin \frac{x}{2})}\)

[luka52]

\(\displaystyle{ $ \begin{eqnarray*} \sin ft( 4 \arcsin \frac{x}{2} \right) & = & 2 \sin ft( 2 \arcsin \frac{x}{2} \right) \cos ft( 2 \arcsin \frac{x}{2} \right) \\ &=& 4 \sin ft( \arcsin \frac{x}{2} \right) \cos ft( \arcsin \frac{x}{2} \right) \cos ft( 2 \arcsin \frac{x}{2} \right) \\ &=& 2x \sqrt{1 - \sin^2 \arcsin \frac{x}{2}} \sqrt{1 - \sin^2 ft( 2 \arcsin \frac{x}{2} \right)}\\
&=& \ldots\\
&=& \frac{1}{2} x \sqrt{4 - x^2} (x^2 - 2)
\end{eqnarray*}}\)

[GrześQ]

Dziekuję za pomoc.