Szeregi potęgowe, nakierowanie przy liczeniu

[Wujas]

Witajcie forumowicze.
Proszę o wskazówki dotyczące kolejnych obliczeń w poniższych zadaniach.
Zad1:
Korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potęgowego pokazać, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1+x)^3}=1-3x+ \frac{3 4}{2!}x^2-\frac{3\cdot 4\cdot 5}{3!} x^3+...\;}\) Dla każdego\(\displaystyle{ x (-1,1)}\)
Doszedłem do tego, że szereg po prawej wygląda następująco:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\frac{(n+2)(n+1)}{2}x^n}}\)
Pytanie brzmi tak: Czy następujące równianie:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}{x^n}= \frac{x}{1-x}}\)
Mam doprowadzić do takiej postaci jak to z treści zadania (od jakich przekształceń zacząć)? Jeżeli, nie to jak zabrać się za to zadanie?

Zad2:
Dla podanej funkcji obliczyć wskazaną pochodną:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{1-3x},\:f^{(100)}(0);}\)
W jaki sposób wykorzystać twierdzenie o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy?

Zad3:
Korzystając z twierdzeń o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumę następującego szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n+2}{n5^n}}}\)

Z góry dziękuję za pomoc!
Pozdrawiam.

[Qń]

Ad 1.
Wskazówka - zróżniczkuj dwukrotnie równość:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^nx^n}\)
(wolno różniczkować wyraz za wyrazem, bo w stosownym przedziale ta suma zbiega jednostajnie)

Ad 2.
Z jednej strony jest:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-3x} = \sum_{n=0}^{\infty} 3^nx^n}\)
z drugiej zaś:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-3x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n}\)
Ponieważ zaś to te same szeregi, więc w obu przy \(\displaystyle{ x^{100}}\) stoi to samo.

Ad 3.
Dla \(\displaystyle{ 0ft( \frac{x}{5}\right)^n = \frac{1}{1-\frac{x}{5}}}\)
a po scałkowaniu tej równości (polecam dokładnie przerachować) :
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n5^n} = -\ln (1-\frac{x}{5})}\)
Teraz wystarczy zsumować pierwszą równość i dwa razy drugą i podstawić \(\displaystyle{ x=1}\). Wtedy po lewej pojawi się to czego szukamy, a po prawej liczba, która będzie odpowiedzią.

Q.

[Wujas]

Dziękuję za odpowiedź.
Z pierwszymi dwoma zadaniami sobie poradziłem, dzięki!
Jednak nadal mam problem z zadaniem 3.
Nie rozumiem jak uzyskałeś:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}{ (\frac{x}{5})^n }}\).
Na jakiej podstawie znalazł się tam x?
Po przecałkowaniu lewej strony niestety wyszła mi inna całka (wg wzoru\(\displaystyle{ \int \sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-a)^n\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n ft( x-a \right)^{n+1}} {n+1}}\)).

Mam kolejne pytanie dotyczące twierdzenia o ciągłości sumy szeregu.
Jeżeli miałbym pokazać, że sumy szeregu są ciągłe, np.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{x^2 + n^2}}\) Na przedziale \(\displaystyle{ (0,\infty)}\).
To najpierw pokazuję, że ten szereg jest jednostajnie zbieżny (co nie jest trudne), funkcje są ciągłe na tym przedziale (trzeba to jakoś szczególnie wykazać?), więc na podstawie twierdzenia daję odpowiedź, że sumy są ciągłe na danym przedziale.
Dobrze rozumuję?

[Qń]

Środek nocy nie jest najlepszą porą na przeprowadzanie rachunków, przez pomyłkę napisałem sumowanie od zera zamiast od jedynki. Powinno być:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{x}{5}\right)^n = \frac{1}{1-\frac{x}{5}} -1}\)
i po scałkowaniu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1)5^n} = -5\ln (1-\frac{x}{5}) -x + C}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{n5^n} = -\ln (1-\frac{x}{5}) -\frac{x}{5}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n5^n} = -\ln (1-\frac{x}{5})}\)

Iks znalazł się tutaj na takiej podstawie, że go tam sobie napisaliśmy (a co, nie wolno? ;>). Natomiast po scałkowaniu trzeba jeszcze przesunąć wskaźnik sumowania, żeby suma po scałkowaniu zaczynała się od tego samego ena. A \(\displaystyle{ C}\) dobieramy takie, żeby się zgadzało np. dla \(\displaystyle{ x=0}\)

Q.