Kolejna prosta całka

[Konqer]

\(\displaystyle{ \int\frac{x\cos{x}}{\sin^{2}{x}}dx}\)

podstawienie jest oczywiste:

\(\displaystyle{ t=\sin{x}}\)

ale zostaje jeszcze x którego nie wiem jak się pozbyć.

[luka52]

Przez części - \(\displaystyle{ u = x, \; \mbox d v = \frac{\cos x}{\sin^2 x} \mbox d x}\).

[Konqer]

No to raczej nie działa bo wtedy mamy:

\(\displaystyle{ u'=1}\)
\(\displaystyle{ v=\frac{-1}{\sin{x}}}\)

a więc całka przyjmuje postać:

\(\displaystyle{ \frac{-x}{\sin{x}}+\int\frac{dx}{\sin{x}}}\)

czyli nawet gorzej niż na początku. Jak się z tego odgrzebać?

[luka52]

czyli nawet gorzej niż na początku

Może zanim kolejny raz coś takiego napiszesz chociaż spróbujesz to rozwiązać? Takie proste i uniwersalne podstawienie \(\displaystyle{ t = \tan \tfrac{x}{2}}\) rozwiązuje problem.

[Dedemonn]

\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sin{x}}}\)

Korzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ sinx = 2sin\frac{1}{2}xcos\frac{1}{2}x}\) :

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{sinx} = \frac{1}{2} t \frac{dx}{sin\frac{1}{2}xcos\frac{1}{2}x} =}\)

( mianownik mnożymy przez \(\displaystyle{ \frac{cos\frac{1}{2}x}{cos\frac{1}{2}x}}\) )

\(\displaystyle{ = \frac{1}{2} t \frac{dx}{\frac{sin\frac{1}{2}x}{cos\frac{1}{2}x}cos^2\frac{1}{2}x} = \frac{1}{2} t \frac{dx}{tg\frac{1}{2}x cos^2\frac{1}{2}x} = \begin{bmatrix} tg\frac{1}{2}x = u \\ \frac{dx}{cos^2\frac{1}{2}x} = du \end{bmatrix} = \frac{1}{2} t \frac{du}{t} = ...}\)


Pzdr.

[gufox]

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{sinx }dx = t \frac{sinxdx}{sin ^{2}x }= t \frac{sinxdx}{1-cos ^{2}x } \begin{bmatrix} cosx=t \\ -sinxdx=dt \\ sinxdx=-dt \end{bmatrix}= t \frac{-dt}{1-t ^{2} } = -\int \frac{dt}{1-t ^{2} }= - \frac{1}{2} ln | \frac{1-t}{1+t}|+C}\)

a czy tak mozna probowac? :/

[Dedemonn]

A widzisz przeciwwskazania? ;]

[gufox]

probowac mozna ale czy dobrze hehe

[Dedemonn]

\(\displaystyle{ -\int \frac{dt}{1-t ^{2} }= t \frac{dt}{t^2-1} = \frac{1}{2} t \frac{dt}{t-1} - \frac{1}{2} t \frac{dt}{t+1} = \frac{1}{2}(ln|t-1|-ln|t+1|) = \frac{1}{2}ln|\frac{t-1}{t+1}| + C}\)

Więc źle!

[gufox]

przeciez wynik ten sam jest wrzuce minusa do licznika i bedzie identiko :]

[Dedemonn]

Nie jest ten sam. Wrzucić minus pod logarytm mógłbyś, gdyby funkcja lnx była nieparzysta, stąd: \(\displaystyle{ -ln(x) ln(-x)}\).

[Konqer]

A mnie w ogóle wychodzi coś innego bo po zastosowaniu

\(\displaystyle{ t=\tg{\frac{x}{2}}}\)

dochodzę do wyniku

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int\frac{dx}{t}=\frac{1}{2}\ln{t}+C}\)

Coś nie tak?

[Dedemonn]

Wrzuć pełniejsze rozwiązanie, to będzie lepiej widać czy coś nie tak (bo ja już nawet nie wiem o którą całkę chodzi).

[Konqer]

ok

\(\displaystyle{ \int\frac{x\cos{x}}{\sin^{2}x}}\)

mnozymy przez części:

\(\displaystyle{ u=x}\) \(\displaystyle{ u'=1}\)

\(\displaystyle{ v'=\frac{\cos{x}}{\sin^{2}{x}}}\) \(\displaystyle{ v=\frac{-1}{\sin{x}}}\)

stąd:

\(\displaystyle{ \int\frac{x\cos{x}}{\sin^{2}x}=\frac{-x}{\sin{x}}+\int\frac{1}{\sin{x}}}\)

bierzemy sama końcowa całkę:

\(\displaystyle{ \int\frac{1}{\sin{x}}=\int\frac{1}{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}*\frac{\cos{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}}}=}\)

bierzemy podstawienie

\(\displaystyle{ t=\tg{\frac{x}{2}}}\)
\(\displaystyle{ dt=\frac{1}{cos^{2}\frac{x}{2}}}\)

tak więc:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int\frac{1}{\tg{\frac{x}{2}\cos^{2}x}}=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\ln{|t|} + C=\frac{1}{2}\ln{|\tg{\frac{x}{2}}|}+C}\)

czyli ostatecznie

\(\displaystyle{ \int\frac{x\cos{x}}{\sin^{2}x}=\frac{-x}{\sin{x}}+\frac{1}{2}ln{|\tg{\frac{x}{2}}|}+C}\)

czy to jest pełne i poprawne rozwiązanie?

[Dedemonn]

Tak.