Wyznaczyć bazę i wymiar...

[baax89]

Wyznaczyć bazę i wymiar podprzestrzeni \(\displaystyle{ lin( _{1}, _{2}, _{3},..., _{n} )}\) przestrzeni \(\displaystyle{ Q^{4}}\), gdy:

\(\displaystyle{ \alpha _{1}}\)= [2,-1,3,5]
\(\displaystyle{ \alpha _{2}}\)= [4,-3,1,3]
\(\displaystyle{ \alpha _{3}}\)= [3,-2,3,4]
\(\displaystyle{ \alpha _{4}}\)= [4,-1,15,17]
\(\displaystyle{ \alpha _{5}}\)= [7,-6,-7,0]

Bardzo proszę o pomoc z tym zadaniem, bo nie wiem jak się za to zabrać... rozpocząłem od policzenia rzędu macierzy (wyszło mi 3, ale nie wiem czy dobrze), ale i tak nie wiem co dalej...

[Qń]

Istotnie, rząd macierzy, której wierszami są te wektory, jest równy trzy. Stąd wniosek, że wymiar tej przestrzeni jest równy trzy, a bazą mogą być dowolne trzy wektory z tych pięciu, takie, że rząd macierzy, której są wierszami też jest równy trzy. Na przykład pierwszy, drugi i czwarty wektor.

Q.

[baax89]

Czyli w każdym z tego typu zadań jest tak, że jeśli rząd wyjdzie mi \(\displaystyle{ n}\) to spośród wszystkich podanych wektorów szukam \(\displaystyle{ n}\) takich które po ułożeniu w macierz dają mi rząd równy \(\displaystyle{ n}\)??

[Qń]

Tak, bo z definicji rząd macierzy to ilość liniowo niezależnych wierszy - skoro więc mamy \(\displaystyle{ n}\) liniowo niezależnych wektorów (tych niezależnych wierszy właśnie), to rozpinają one przestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ n}\) i są jej bazą.

Q.

[baax89]

Dzięki wielkie!