Calka

[MasterPit]

Mam do policzenie taka oto calke
\(\displaystyle{ \int xarctg ^{2}(x) dx}\)

[Dedemonn]

Z takim trickiem, jaki można zrobić w tej całce, przyznam szczerze, jeszcze się nie spotkałem. ;]

(wzorowałem się na rozwiązaniu z mathematic'i)


Robimy ją przez części w sposób następujący:

\(\displaystyle{ \int x \cdot arctg^2x\ dx = \int \frac{1}{2}(x^2+1)' \cdot arctg^2x\ dx = \frac{1}{2}(x^2+1)arctg^2x - \int \frac{x^2+1}{x^2+1} \cdot arctgx\ dx = \frac{1}{2}(x^2+1)arctgx - \int arctgx\ dx = \hbox{i już łatwo przez części}}\)


Pzdr.

[agulka1987]

Mam do policzenie taka oto calke
\(\displaystyle{ \int xarctg ^{2}(x) dx}\)

\(\displaystyle{ = \begin{bmatrix}f'=x& g=arctg^2x\\f= \frac{1}{2}x^2& g'= \frac{2arctgx}{1+x^2}\end{bmatrix} = \frac{1}{2}x^2arctg^2x - t \frac{x^2arctgx}{1+x^2} dx = \begin{bmatrix} f'= \frac{x^2}{1+x^2}& g=arctg\\f=x-arctgx& g'= \frac{1}{1+x^2}\end{bmatrix} = \frac{1}{2}x^2arctg^2x - aractgx + arctg^2x + t \frac{x-arctgx}{1+x^2}dx = \frac{1}{2}x^2arctg^2x - aractgx + arctg^2x + t \frac{x}{1+x^2}dx - t \frac{arctgx}{1+x^2}dx = \begin{bmatrix}t=1+x^2\\dt=2xdx\\ \frac{1}{2}dt=xdx \end{bmatrix} = \frac{1}{2}x^2arctg^2x - aractgx + arctg^2x + \frac{1}{2} t \frac{1}{t}dx - t \frac{arctgx}{1+x^2}dx =\begin{bmatrix} u=arctgx\\du= \frac{1}{1+x^2}dx \end{bmatrix} = \frac{1}{2}x^2arctg^2x - aractgx + arctg^2x + \frac{1}{2} ln|t| - t u du = \frac{1}{2}x^2arctg^2x - aractgx + arctg^2x + \frac{1}{2} ln|1+x^2| - \frac{1}{2} u^2 +C = \frac{1}{2}x^2arctg^2x - aractgx + arctg^2x + \frac{1}{2} ln|1+x^2| - \frac{1}{2} arctg^2 x+C}\)