granica z cosinusem

[kenser]

Proszę o pomoc w tym zadaniu:

Oblicz następujacą granicę: \(\displaystyle{ \lim\limits_{n \rightarrow 0}{\frac{1 - cos x}{x^2}}}\).

[Justka]

wsk. \(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0 } \frac{1-\cos x }{ x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)}}\)

[kenser]

kurcze...
nie wiem jak to zrobić

[Funktor]

Justka, Szczerze mówiąc nie wiem po co ci to przekształcenie ...

kenser, zastosuj 2 razy regułę de'Hospitala

[Justka]

Funktor, by ominąć de'Hospitala..

\(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1+\cos x)(1-\cos x)}{x^2 (1+\cos x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{1}{1+\cos x} = \frac{1}{2}}\)

[Funktor]

Justka, heh faktycznie, oddaję honor : )

[kenser]

Funktor, by ominąć de'Hospitala..

\(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1+\cos x)(1-\cos x)}{x^2 (1+\cos x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{1}{1+\cos x} = \frac{1}{2}}\)

A mógłbyś mi wytłumaczyć skąd się to wzięło?

Pierwsze z jedynki trygonometrycznej, drugie jako pozostałość ułamka, ale wyniku nie rozumiem, bo przecież sin 0 = 0, dzielone przez 0 i podniesione do kwadratu daje... no właśnie... zero przez zero, do kwadratu musiałoby dawać 1, bo z drugiej części wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)...

[ares41]

kenser, a ile to jest:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{\sin{x}}{x}}\) ?

[kenser]

No właśnie teraz to zrozumiałem, że tam jest granica... Pfff
Dzięki wszystkim za pomoc