Okręgi - 2 zadania

dizel1988 · Post autor: **dizel1988** » 29 gru 2008, o 20:41

Witam.

Mam problem z dwoma zadaniami z okręgami. Proszę Was o pomoc. Z góry dziękuje

Zad.1
a) Napisz rónanie okręgu o promieniu długości \(\displaystyle{ 4}\), współśrodkowego z okręgiem \(\displaystyle{ o1: x^{2} + y^{2} + 2x - 6y + 9 = 0}\)
b) Oblicz pole pierścienia kołowego wyznaczonego okręgami\(\displaystyle{ o1 i o2}\).

Zad.2
Prosta \(\displaystyle{ k: y=x + 1}\) przecina parabolę o równaniu \(\displaystyle{ y=-x^{2} + 2x + 3}\) w punktach A i B.
a) Oblicz wspólrzędne punktów A i B
b) Napisz równanie okręgu o promieniu długości\(\displaystyle{ \sqrt{5}}\), jeśli odcinek AB jest cięciwą tego okręgu.
c) Oblicz pole trójkąta ABS, gdzie S jest środkiem okręgu wyznaczonego w punkcie b).

sea_of_tears · Post autor: **sea_of_tears** » 29 gru 2008, o 20:47

zadanie 1

na początek znajdę środek okręgu
\(\displaystyle{ x^2+y^2+2x-6y+9=0\newline
(x^2+2x+1)+(y^2-6y+9)=1\newline
(x+1)^2+(y-3)^2=1\newline
S(-1.3)}\)
teraz napiszę równanie okręgu współśrodkowego o promieniu r=4 :
\(\displaystyle{ (x+1)^2+(y-3)^2=4^2\newline
(x+1)^2+(y-3)^2=16}\)
b)
\(\displaystyle{ r_1=4\newline
r_2=1\newline
P=P_1-P_2\newline
P_1=\pi r_1^2=\pi 1^2=\pi\newline
P_2=\pi r_2^2=\pi 4^2=16\pi\newline
P=16\pi - \pi=15\pi}\)

[ Dodano: 29 Grudnia 2008, 20:52 ]
zadanie 2
\(\displaystyle{ a)
\begin{cases}
y=x+1 \\
y=-x^2+2x+3
\end{cases}
\newline
x+1=-x^2+2x+3\newline
x^2+x-2x+1-3=0\newline
x^2-x-2=0\newline
\Delta=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-2)=1+8=9\newline
\sqrt{\Delta}=3\newline
x_1=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1\newline
x_2=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2\newline
\newline
x=-1 y=-1+1=0\newline
A(-1,0)\newline
x=2 y=2+1=3\newline
B(2,3)}\)

dizel1988 · Post autor: **dizel1988** » 29 gru 2008, o 20:57

super, naprawdę mi pomogłaś, wszystko się zgadza, odpowiedzi w książce są ok, świetnie . Proszę, wytłumacz mi jak szukałaś w tym pierwszym środka okręgu?? Jest na to jakiś wzór że to do takiej postaci zwinęłaś?? Jak to zrobiłaś, proszę powiedz bo nie rozumiem własnie tego jednego. Oczywiście punkt za pomoc leci do Ciebie .

sea_of_tears · Post autor: **sea_of_tears** » 29 gru 2008, o 21:02

chodzi o to, że próbowałam tam się doszukać wzorów skróconego mnożenia \(\displaystyle{ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2}\)
zarówno przy x jak i przy y
\(\displaystyle{ x^2+y^2+2x-6y+9=0}\)
na początek zapiszmy sobie x przy x, y przy y
\(\displaystyle{ (x^2+2x)+(y^2-6y)+9=0}\)
teraz należy się zastanowić jaką liczbę należy dopisać w każdy nawias by otrzymać tam wzory skrócoonego mnożenia, łątwo można zauważyć, że w pierwszym nawiasie należy dopisać 1 a w drugim 9
\(\displaystyle{ (x^2+2x+1)+(y^2-6y+9)-1=0}\)
zamieniamy oba nawiasy na drugą część wzoru skróconego mnożenia i mam środek
\(\displaystyle{ (x+1)^2+(y-3)^2=1}\)

a możesz mi podać odpowiedź do b) ??

dizel1988 · Post autor: **dizel1988** » 29 gru 2008, o 21:06

a czemu w tym drugim nawiasie masz \(\displaystyle{ ... (y^{2} -6y+9)-1 ...}\) 9 rozumiem, dopisałaś ale skąd nagle -1? bo właśnie nie wiem

sea_of_tears · Post autor: **sea_of_tears** » 29 gru 2008, o 21:08

bo w pierwszym nawiasie dopisałam +1 zatem by to wyrażenie nie zmieniło wartości musiała tą 1 odjąć, bo inaczej nie oznaczałoby to tego samego

dizel1988 · Post autor: **dizel1988** » 29 gru 2008, o 21:08

a nie wiesz jak zrobic punkty b i c w 2 zadaniu?

sea_of_tears · Post autor: **sea_of_tears** » 29 gru 2008, o 21:11

rozwiązałam sobie tylko nie wiem czy się nie walnęłam nigdzie, możesz podać odpowiedź do b) ?

dizel1988 · Post autor: **dizel1988** » 29 gru 2008, o 21:18

do b - \(\displaystyle{ x^{2}+(y-2)^{2}=5}\) lub \(\displaystyle{ (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=5}\) a odpowiedź do c) to \(\displaystyle{ 1,5}\)

sea_of_tears · Post autor: **sea_of_tears** » 29 gru 2008, o 21:30

\(\displaystyle{ b)\newline
A(-1,0)\newline
B(2,3)\newline
|AB|=\sqrt{(2+1)^2+(3-0)^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\newline
(\frac{1}{2}|AB|)^2+h^2=(\sqrt{5})^2\newline
(\frac{3\sqrt2}{2})^2+h^2=(\sqrt5)^2\newline
\frac{9}{2}+h^2=5\newline
h^2=5-\frac{9}{2}\newline
h^2=\frac{1}{2}\newline
h=\frac{\sqrt2}{2}}\)
teraz obliczę równanie prostej AB :
\(\displaystyle{ y=ax+b \newline
\begin{cases}
0=-a+b \\
3=2a+b
\end{cases}
\newline
\begin{cases}
a=1 \\
b=1
\end{cases}
y=x+1}\)
teraz obliczę współrzędne punktu S, czyli środka odcinka AB :
\(\displaystyle{ S=(\frac{-1+2}{2},\frac{0+3}{2})\newline
S(\frac{1}{2},\frac{3}{2})}\)
teraz napiszę równanie prostej prostopadłej do AB i przechodzącej przez punkt S :
\(\displaystyle{ y=-x+b\newline
\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}+b\newline
b=2\newline
y=-x+2}\)
zatem nasz środek O ma współrzędne :
\(\displaystyle{ O(x,-x+2)}\)
znam promień czyli moge zapisać, że :
\(\displaystyle{ |OA|=\sqrt{5}\newline
\sqrt{(x+1)^2+(-x+2-0)^2}=\sqrt{5}\newline
(x+1)^2+(-x+2)^2=5\newline
x^2+2x+1+x^2-4x+4-5=0\newline
2x^2-2x=0\newline
2x(x-1)=0\newline
x_1=0 y_1=2\newline
S_1(0,2)\newline
(x-0)^2+(y-2)^2=5\newline
x^2+(y-2)62=5\newline
x_2=1 y_2=1\newline
S_1=(1,1)\newline
(x-1)^2+(y-1)^2=5}\)

[ Dodano: 29 Grudnia 2008, 21:34 ]

i tam na rysunku jest "h" a nie "4" bo jakoś tam mi się napisało, że wygląda nie tak jak powinno

[ Dodano: 29 Grudnia 2008, 21:35 ]
\(\displaystyle{ c)\newline
P=\frac{1}{2}\cdot |AB| h\newline
P=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{2} \frac{\sqrt2}{2}=
\frac{3\sqrt4}{4}=\frac{6}{4}=1,5}\)

dizel1988 · Post autor: **dizel1988** » 29 gru 2008, o 21:41

a wiesz może czy jest jakiś wzór na pole trójkąta gdy mamy dane tylko współrzędne wierzchołków np A(1,2) B(2,3) C(5,7) niewiem czy dobre, podałem tylko takie przykładowe liczby. Bo niewiem czy można to jakos odrazu policzyć czy trzeba coś z tym kombinować? Nigdzie nie moge z internecie znaleźć

sea_of_tears · Post autor: **sea_of_tears** » 29 gru 2008, o 21:47

najczęściej robi to się w następujący sposób :
liczy się np prostą AB
potem robi się prostą prostopadłą do AB i przechodzącą przez punkt C
oblicza się przecięcię tych prostych (jakiś punkt D na prostej AB)
liczy się długość AB oraz długość CD
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}|\cdot |AB|\cdot |CD|}\)
ale wzór napewno jest, zaraz go poszukam

[ Dodano: 29 Grudnia 2008, 21:49 ]
miałaś wyznaczniki ?
pewnie nie, dlatego zapiszę Ci wzór jak najprościej :
\(\displaystyle{ A(x_A,y_A)\newline
B(x_B,y_B)\newline
C(x_C,y_C)\newline
\newline
P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)|}\)

dizel1988 · Post autor: **dizel1988** » 29 gru 2008, o 21:56

a dala byś rade sobie z izometrią? nie koniecznie dziś, może byc i jutro. Bo mam takie zadanie: Dane jest przekształcenie płaszczyzny P określonej wzorem \(\displaystyle{ P(x,y) = (y+2, -x+1)}\)
a) zbadaj czy płaszczyzna P jest izometrią.
b) znajdź równanie obrazu okręgu \(\displaystyle{ o: x^{2}+y^{2}-4x+6y+12=0}\) w tym przekształceniu.
c) oblicz pole trójkąta którego wierzchołkami są: środek danego okręgu i jego obraz w przekształceniu P oraz punkt A(2,0)

sea_of_tears · Post autor: **sea_of_tears** » 29 gru 2008, o 22:10

\(\displaystyle{ a)\newline
P(x,y)=(y+2,-x+1)\newline
A(x_A,y_A)\newline
B(x_B,y_B)\newline
\newline
A^{'}(y_A+2,-x_A+1)\newline
B^{'}(y_B+2,-x_B+1)}\)
przekształcenie jest izmetrią, gdy :
\(\displaystyle{ |AB|=|A^{'}B^{'}|}\)
zatem sprawdzimy to :
\(\displaystyle{ |AB|\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}\newline
\newline
|A^{'}B^{'}|=\sqrt{[y_A+2-(y_B+2)]^2+[-x_A+1-(-x_B+1)]^2}=
\sqrt{(y_A+2-y_B-2)^2+(-x_A+1+x_B-1)^2}=
\sqrt{(y_A-y_B)^2+(-x_A+x_B)^2}=
\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_b)^2}=|AB|}\)
zatem przekształcenie to jest izometrią

[ Dodano: 29 Grudnia 2008, 22:14 ]
b)
najpierw znajdę środek tego okręgu :
\(\displaystyle{ x^2+y^2-4x+6y+12=0\newline
(x^2-4x)+(y^2+6y)+12=0\newline
(x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)+12-4-9=0\newline
(x-2)^2+(y+3)^2=1\newline
S(2,-3)\newline
S^{'}=(-3+2,-2+1)=(-1,-1)\newline
(x+1)^2+(y+1)^2=1}\)

[ Dodano: 29 Grudnia 2008, 22:16 ]
c)
skorzystam teraz ze wzoru który Ci wcześniej podałam
\(\displaystyle{ S(2,-3)\newline
S^{'}(-1,-1)\newline
A(2,0)\newline
\newline
P=\frac{1}{2}|(2+1)(0+3)-(2-2)(-1+3)|=\frac{1}{2}|9|=4,5}\)

[ Dodano: 29 Grudnia 2008, 22:17 ]
sprawdź wyniki z tego zadania

dizel1988 · Post autor: **dizel1988** » 29 gru 2008, o 22:17

nie no super. Wszystko dobrze. Jeszcze tylko może jakby Ci się udało ten punkt c zrobić. Kurde, człowiek chorował troche przed świętami i teraz próbuje nadrobić zaległości