równanie diofantyczne, uzupełnianie do pełnego kwadratu

[smigol]

Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych (n,m), spełniających równanie:
1/
\(\displaystyle{ 2^{n} +1 = m^{2}}\)
tutaj jedyne co mi przychodzi na myśl to jedynke na drugą stronę i rozłożyć na czynniki. Metodą prób i błędów wychodzi mi, że n=3, m=2. Przydałoby się jednak dowieść, że nie ma innych rozwiązań.
2/ \(\displaystyle{ 2^{n} -1 = m^{2}}\)
no tutaj to w ogóle nie mam pomysłu.

Co do uzupełniania do pełnego kwadratu, to czy mógłby mi ktoś wyjaśnić, na przykład:
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{4} + b^{2} + c^{2} - ab +ac -2bc}\)
uzupełnić do pełnego kwadratu ze względu na a.
Jak można to krok po kroczku to może na tym przykładzie zrozumiem.
ja to robię tak:
\(\displaystyle{ \left( \frac{a}{2} \right) ^{2} + \left( b-c\right) ^{2} + a \left(c-b \right) = \left( \frac{a}{2} + \frac{c-b}{2} \right) ^{2} + \left( c-b \right) ^{2} - \frac{ \left( c-b\right) ^{2} }{4} \geqslant 0}\)
gdyż tutaj właściwie o nierówność chodziło.
A powinno wyjść tak: \(\displaystyle{ \left( \frac{a}{2} -b =2 \right) ^{2}}\)

[Artist]

1/
Wystarczy tu przenieść 1 na drugą stronę:
\(\displaystyle{ 2^{n}=(m-1)(m+1)}\)
No i teraz masz iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych, więc zarówno \(\displaystyle{ m-1}\) jak i \(\displaystyle{ m+1}\) muszą być parzyste i nie mieć w rozkładzie na liczby pierwsze innych liczb niż 2, czyli są potęgami 2. Tylko dwa kolejne liczby parzyste są potęgami dwójki mianowicie 2 i 4.
Wśród podanych liczb tylko m=3 i n=3 spełnia to równanie.
2/
Tu wychodzi mi, ze n=1 i m=1, na razie połówka.

Lemat.
Iloczyn dwu kolejnych liczb nieparzystych nie może być kwadratem liczby naturalnej.
Dla naturalnych k mamy.
\(\displaystyle{ (2k-1)(2k+1)=4k^{2}-1=(2k)^{2}-1}\)
.

Dla parzystego n mamy.
\(\displaystyle{ 2^{2k}-1=(2^{k}-1)(2^{k}+1) m^{2}}\) Iloczyn dwu kolejnych liczb nieparzystych.

[Wasilewski]

Czyli n (2k+1) musi być nieparzyste, m (2l+1) również. Mamy zatem:
\(\displaystyle{ 2 4^{k} = 4l^2 + 4l + 2 \\
4^{k} = 2l^2 + 2l + 1}\)
Prawa strona jest nieparzysta, czyli k=0, a z tego również l=0. Ewentualnie można jeszcze dorzucić rozwiązanie n=m=0.

[max]

Na to drugie równanie można popatrzeć też tak:
Jeśli \(\displaystyle{ n = 1}\) to \(\displaystyle{ m = 1}\).
Jeśli \(\displaystyle{ n \geqslant 2}\), to patrzymy na równanie modulo \(\displaystyle{ 4}\):
\(\displaystyle{ m^{2}\equiv -1\pmod{4}}\)
ale jak łatwo przeliczyć \(\displaystyle{ -1}\) nie jest resztą kwadratową modulo \(\displaystyle{ 4}\).