Może mi ktoś podać przykłady (w postaci linków) do rozwiązań kokretnych przykładów?
rozwiazanie znaczy pojscie do 4 czynnikow liniowych. Wszystkie 4 pierwiastki sa niewymierne
Wielomian 4 stopnia z niewymiernymi pierwiastkami.
-
anna_
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3247 razy
Wielomian 4 stopnia z niewymiernymi pierwiastkami.
Nie konkretne, ale może pomoże:
https://matematyka.pl/3841.htm
https://matematyka.pl/3841.htm
-
Ateos
- Użytkownik
- Posty: 1100
- Rejestracja: 10 maja 2008, o 17:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Swarzędz
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 214 razy
Wielomian 4 stopnia z niewymiernymi pierwiastkami.
dzieki, ale to znalazlem w wikipedii. Chodzi mi o rozwiazanie przykladu, zebym analogicznie mogl sam wlasne robic. Nikt nie znalazl nigdzie w necie?
wzorami przeksztalceniami Cardano wychodzą mi coraz to gorsze liczby, a podstawień jest niemało :/
wzorami przeksztalceniami Cardano wychodzą mi coraz to gorsze liczby, a podstawień jest niemało :/
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Wielomian 4 stopnia z niewymiernymi pierwiastkami.
Przedstawię Tobie dwie metody rozwiązywana takich równań ale wcześniej musimy
przypomniec sobie parę rzeczy.
Po pierwsze
Liczby zespolone
Każda liczba zespolona może byc traktowana jako punkt na płaszczyźnie
Zbiór liczb zespolonych to iloczyn kartezjański dwóch zbiorów rzeczywistych
a jego interpretacją geometryczną jest płaszczyzna.
Własności jednostki urojonej
i^n=1 n=4k
i^n=i n=4k+1
i^n=-1 n=4k+2
i^n=-i n=4k+3
k,n in Z
Postac trygonometryczna
a+bi=r*(cost+isint)
r=abs(a+bi)=sqrt(a^2+b^2)
t=arg(z)=arc tg(b/a) t in
Jeżeli a=0 i b0 to promień wodzący jest prostopadły do osi biegunowej i
t=pi/2 lub t=-pi/2
Jeżeli a=0 i b=0 to t może przyjąc dowolną wartośc
Postac wykładnicza
a+bi=abs(a+bi)*exp(i*arg(a+bi))
czyli od razu widac ze exp(ix)=cosx + isinx
Podstawowe działania
Częśc rzeczwista
Re(a+bi)=a
Częśc urojona
Im(a+bi)=b
Dodawanie
Aby dodac do siebie dwie liczby zespolone trzeba
dodac częsc rzeczywistą jednej liczby do
częsci rzeczywistej drugiej liczby oraz
dodac częsc urojoną jednej liczby do
częsci urojonej drugiej liczby
Aby odjąc liczby zespolone trzeba
Od czesci reczywistej pierwszej liczby odjąc częsc rzeczywistą drugiej liczby
Od czesci urojonej pierwszej liczby odjąc częsc urojoną drugiej liczby
Mnożenie liczb zespolonych
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)*i
Dzielenie liczb zespolonych
(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)+(bc-ad)*i)/(c^2+d^2)
Potęgowanie liczb zespolonych
Aby obliczyc potęgę liczby zespolonej trzeba przejśc do postaci wykładniczej
a+bi=abs(a+bi)*exp(i*arg(a+bi))
(a+bi)^n=abs(a+bi)^n*exp(i*n*arg(a+bi)) czyli
(a+bi)^n=abs(a+bi)^n*(cos(n*arg(a+bi))+isin(n*arg(a+bi)))
Wzory skróconego mnożenia
Wzory te powinieneś znac ja jedak przypomnę Tobie tylko dwumian Newtona
\(\displaystyle{ \left(a+b\right) ^{n}= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a ^{n-k}b ^{k}}\)
Twierdzenie Bezout
Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wielomian jest podzielny przez (x-a)
lub
Liczba a jest n krotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) wielomian jest podzielny przez (x-a)^n
Jeszcze jedną przydatną rzeczą są wzory Viete dla wielomianu drugiego i trzeciego stopnia
ponieważ na podstawie wzorów Viete'a układane będzie równanie rozwiązujące
Wzory Viete dla równania drugiego stopnia
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1}+x _{2}= \frac{-a _{1} }{a _{2} } \\ x _{1}x _{2}= \frac{a _{0} }{a _{2} } \end{cases}}\)
Wzory Viete'a dla równania trzeciego stopnia
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1}+x _{2}+x _{3}= \frac{-a _{2} }{a _{3} } \\ x _{1}x _{2}+x _{1}x _{3}+x _{2}x _{3}= \frac{a _{1} }{a _{3} } \\x _{1}x _{2}x _{3}= \frac{-a _{0} }{a _{3} } \end{cases}}\)
Po tym wstępie i przypomnieniu ważniejszych rzeczy można przystąpic do opisania dwóch metod
obliczania pierwiastków równania czwartego stopnia.
I Równanie drugiego stopnia
Przenosimy wyraz wolny na drugą stronę
Dzielimy przez współczynnik przy x^2
Dodajemy stronami taki składnik (zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia)
aby obie strony były kwadratami zupełnymi
Wyciągamy obustronnie pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia i dostajemy dwa równania liniowe
Przenosimy wyraz wolny z lewej strony równania na prawą
II Równanie trzeciego stopnia
Stosujemy podstawienie y=x+a[2]/(3a[3]) aby uzyskac tzw postac kanoniczną równania
y^3+3py+2q=0
Następnie stosujemy podstawienie y=u+v aby uzyskac wzory Viete'a dla równania rozwiązującego
Na podstawie wzorów Vietea układamy równanie rozwiązujące które ma postac t^2+2qt-p^3=0
Rozwiązujemy równanie rozwiązujące .Następnie pierwiastki trzeciego stopnia z pierwiastków równania rozwiązującego dobieramy tak aby uv=-p
Niech e[1] i e[2] będą pierwiastkami trzeciego stopnia z jedynki
e[1]=exp(2*i*pi/3)
e[2]=exp(4*i*pi/3)
y[1]=u+v
y[2]=e[1]u+e[2]v
y[3]=e[2]u+e[1]v
III Równanie czwartego stopnia
1. Metoda Descartesa-Eulera
Sprowadzamy równanie do postaci kanonicznej za pomocą podstawienia y=x+a[3]/(4a[4])
y^4+py^2+qy+r=0
Stosujemy podstawienie 2y=u+v+w do równania w postaci kanonicznej pomnożonego przez 16
aby uzyskac wzory Viete'a dla równania rozwiązującego
Na podstawie wzorów Viete'a układamy równanie równanie rozwiązujące które ma postac
t^3+2pt^2+(p^2-4r)t-q^2=0
Rozwiązujemy równanie rozwiązujące .Następnie pierwiastki drugiego stopnia z pierwiastków równania rozwiązującego dobieramy tak aby uvw=-q
t[1]=u^2
t[2]=v^2
t[3]=w^2
y[1]=0.5*(u+v+w)
y[2]=0.5*(u-v-w)
y[3]=0.5*(-u+v-w)
y[4]=0.5*(-u-v+w)
2. Metoda Ferrariego
W tej metodzie sprowadzanie do postaci kanonicznej przez podstawiene y=x+a[3]/(4a[4]) jest
opcjonalne
Dzielimy równanie przez współczynnik przy x^4
Przenosimy trójmian kwadratowy na drugą stroną równania
Jeżeli dokonaliśmy wcześniej podstawienia to lewa strona równania jest już kwadratem zupełnym
jeśli nie to sprowadzamy lewą stronę równania do kwadratu zupełnego dodając odpowiedni składnik
(zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia) do obu stron równania
Teraz gdy lewa strona jest już kwadratem zupełnym musimy sprowadzic prawą stronę do kwadratu zupełnego. Aby tego dokonac wprowadzamy nową niewiadomą tak aby lewa strona nadal była kwadratem zupełnym .Prawa strona równania będzie kwadratem zupełnym gdy jej wyróżnik będzie równy zero wobec tego obliczamy wyróżnik prawej strony równania i przyrównujemy go do zera
Otrzymaliśmy w ten sposób równanie trzeciego stopnia względem wprowadzonej niewiadomej
Równanie to jest nazywane równaniem rozwiązującym
Rozwiązujemy równanie rozwiązujące i wybieramy jeden jego pierwiastek
Gdy pierwiastkiem równania jest współczynnik przy drugiej potędze zmiennej niezależnej
w kanonicznej postaci równania to równanie jest dwukwadratowe
Teraz gdy obie strony równania są kwadratami zupełnymi wyciągamy pierwiastek drugiego stopnia z obu stron równania i dostajemy dwa równania kwadratowe
Powinieneś sobie poradzic
Co do przykładów mógłbym znaleźc kilka jednak tam pierwiastki są wymierne
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf
http://www.sosmath.com/algebra/factor/fac12/fac12.html
Możesz jeszcze ściągnąc Maple i napisac odpowiadnią procedurę obliczającą pierwiastki równania czwartego stopnia i wyświetlającą wartości pośrednie
Ja też miałem z tym problemy że albo to są duże liczby albo nawet całkowite pierwiastki równania
trzeciego stopnia są przedstawione w postaci sumy pierwiastków arytmetycznych trzeciego stopnia
przypomniec sobie parę rzeczy.
Po pierwsze
Liczby zespolone
Każda liczba zespolona może byc traktowana jako punkt na płaszczyźnie
Zbiór liczb zespolonych to iloczyn kartezjański dwóch zbiorów rzeczywistych
a jego interpretacją geometryczną jest płaszczyzna.
Własności jednostki urojonej
i^n=1 n=4k
i^n=i n=4k+1
i^n=-1 n=4k+2
i^n=-i n=4k+3
k,n in Z
Postac trygonometryczna
a+bi=r*(cost+isint)
r=abs(a+bi)=sqrt(a^2+b^2)
t=arg(z)=arc tg(b/a) t in
Jeżeli a=0 i b0 to promień wodzący jest prostopadły do osi biegunowej i
t=pi/2 lub t=-pi/2
Jeżeli a=0 i b=0 to t może przyjąc dowolną wartośc
Postac wykładnicza
a+bi=abs(a+bi)*exp(i*arg(a+bi))
czyli od razu widac ze exp(ix)=cosx + isinx
Podstawowe działania
Częśc rzeczwista
Re(a+bi)=a
Częśc urojona
Im(a+bi)=b
Dodawanie
Aby dodac do siebie dwie liczby zespolone trzeba
dodac częsc rzeczywistą jednej liczby do
częsci rzeczywistej drugiej liczby oraz
dodac częsc urojoną jednej liczby do
częsci urojonej drugiej liczby
Aby odjąc liczby zespolone trzeba
Od czesci reczywistej pierwszej liczby odjąc częsc rzeczywistą drugiej liczby
Od czesci urojonej pierwszej liczby odjąc częsc urojoną drugiej liczby
Mnożenie liczb zespolonych
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)*i
Dzielenie liczb zespolonych
(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)+(bc-ad)*i)/(c^2+d^2)
Potęgowanie liczb zespolonych
Aby obliczyc potęgę liczby zespolonej trzeba przejśc do postaci wykładniczej
a+bi=abs(a+bi)*exp(i*arg(a+bi))
(a+bi)^n=abs(a+bi)^n*exp(i*n*arg(a+bi)) czyli
(a+bi)^n=abs(a+bi)^n*(cos(n*arg(a+bi))+isin(n*arg(a+bi)))
Wzory skróconego mnożenia
Wzory te powinieneś znac ja jedak przypomnę Tobie tylko dwumian Newtona
\(\displaystyle{ \left(a+b\right) ^{n}= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a ^{n-k}b ^{k}}\)
Twierdzenie Bezout
Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wielomian jest podzielny przez (x-a)
lub
Liczba a jest n krotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) wielomian jest podzielny przez (x-a)^n
Jeszcze jedną przydatną rzeczą są wzory Viete dla wielomianu drugiego i trzeciego stopnia
ponieważ na podstawie wzorów Viete'a układane będzie równanie rozwiązujące
Wzory Viete dla równania drugiego stopnia
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1}+x _{2}= \frac{-a _{1} }{a _{2} } \\ x _{1}x _{2}= \frac{a _{0} }{a _{2} } \end{cases}}\)
Wzory Viete'a dla równania trzeciego stopnia
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1}+x _{2}+x _{3}= \frac{-a _{2} }{a _{3} } \\ x _{1}x _{2}+x _{1}x _{3}+x _{2}x _{3}= \frac{a _{1} }{a _{3} } \\x _{1}x _{2}x _{3}= \frac{-a _{0} }{a _{3} } \end{cases}}\)
Po tym wstępie i przypomnieniu ważniejszych rzeczy można przystąpic do opisania dwóch metod
obliczania pierwiastków równania czwartego stopnia.
I Równanie drugiego stopnia
Przenosimy wyraz wolny na drugą stronę
Dzielimy przez współczynnik przy x^2
Dodajemy stronami taki składnik (zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia)
aby obie strony były kwadratami zupełnymi
Wyciągamy obustronnie pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia i dostajemy dwa równania liniowe
Przenosimy wyraz wolny z lewej strony równania na prawą
II Równanie trzeciego stopnia
Stosujemy podstawienie y=x+a[2]/(3a[3]) aby uzyskac tzw postac kanoniczną równania
y^3+3py+2q=0
Następnie stosujemy podstawienie y=u+v aby uzyskac wzory Viete'a dla równania rozwiązującego
Na podstawie wzorów Vietea układamy równanie rozwiązujące które ma postac t^2+2qt-p^3=0
Rozwiązujemy równanie rozwiązujące .Następnie pierwiastki trzeciego stopnia z pierwiastków równania rozwiązującego dobieramy tak aby uv=-p
Niech e[1] i e[2] będą pierwiastkami trzeciego stopnia z jedynki
e[1]=exp(2*i*pi/3)
e[2]=exp(4*i*pi/3)
y[1]=u+v
y[2]=e[1]u+e[2]v
y[3]=e[2]u+e[1]v
III Równanie czwartego stopnia
1. Metoda Descartesa-Eulera
Sprowadzamy równanie do postaci kanonicznej za pomocą podstawienia y=x+a[3]/(4a[4])
y^4+py^2+qy+r=0
Stosujemy podstawienie 2y=u+v+w do równania w postaci kanonicznej pomnożonego przez 16
aby uzyskac wzory Viete'a dla równania rozwiązującego
Na podstawie wzorów Viete'a układamy równanie równanie rozwiązujące które ma postac
t^3+2pt^2+(p^2-4r)t-q^2=0
Rozwiązujemy równanie rozwiązujące .Następnie pierwiastki drugiego stopnia z pierwiastków równania rozwiązującego dobieramy tak aby uvw=-q
t[1]=u^2
t[2]=v^2
t[3]=w^2
y[1]=0.5*(u+v+w)
y[2]=0.5*(u-v-w)
y[3]=0.5*(-u+v-w)
y[4]=0.5*(-u-v+w)
2. Metoda Ferrariego
W tej metodzie sprowadzanie do postaci kanonicznej przez podstawiene y=x+a[3]/(4a[4]) jest
opcjonalne
Dzielimy równanie przez współczynnik przy x^4
Przenosimy trójmian kwadratowy na drugą stroną równania
Jeżeli dokonaliśmy wcześniej podstawienia to lewa strona równania jest już kwadratem zupełnym
jeśli nie to sprowadzamy lewą stronę równania do kwadratu zupełnego dodając odpowiedni składnik
(zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia) do obu stron równania
Teraz gdy lewa strona jest już kwadratem zupełnym musimy sprowadzic prawą stronę do kwadratu zupełnego. Aby tego dokonac wprowadzamy nową niewiadomą tak aby lewa strona nadal była kwadratem zupełnym .Prawa strona równania będzie kwadratem zupełnym gdy jej wyróżnik będzie równy zero wobec tego obliczamy wyróżnik prawej strony równania i przyrównujemy go do zera
Otrzymaliśmy w ten sposób równanie trzeciego stopnia względem wprowadzonej niewiadomej
Równanie to jest nazywane równaniem rozwiązującym
Rozwiązujemy równanie rozwiązujące i wybieramy jeden jego pierwiastek
Gdy pierwiastkiem równania jest współczynnik przy drugiej potędze zmiennej niezależnej
w kanonicznej postaci równania to równanie jest dwukwadratowe
Teraz gdy obie strony równania są kwadratami zupełnymi wyciągamy pierwiastek drugiego stopnia z obu stron równania i dostajemy dwa równania kwadratowe
Powinieneś sobie poradzic
Co do przykładów mógłbym znaleźc kilka jednak tam pierwiastki są wymierne
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf
http://www.sosmath.com/algebra/factor/fac12/fac12.html
Możesz jeszcze ściągnąc Maple i napisac odpowiadnią procedurę obliczającą pierwiastki równania czwartego stopnia i wyświetlającą wartości pośrednie
Ja też miałem z tym problemy że albo to są duże liczby albo nawet całkowite pierwiastki równania
trzeciego stopnia są przedstawione w postaci sumy pierwiastków arytmetycznych trzeciego stopnia
-
Ateos
- Użytkownik
- Posty: 1100
- Rejestracja: 10 maja 2008, o 17:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Swarzędz
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 214 razy
Wielomian 4 stopnia z niewymiernymi pierwiastkami.
wielie dzieki za npisanie (skopiowanie tego tutaj:P), ale to wyczytalem z kompendium wiedzy i wikipedii, ale i tak mi ciągle coś gdzieś nie wychodzi. Potrzebuje przykładu zrobionego od początku do końca. Wystarczy przyklad z rownaniem 3 stopnia, bo swoj 4 stopnia przeksztalcilem juz sobie do 3 stopnia
-
chris139
- Użytkownik
- Posty: 326
- Rejestracja: 21 paź 2007, o 21:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 122 razy
Wielomian 4 stopnia z niewymiernymi pierwiastkami.
Dobra niech będzie, przykład
Niech więc będzie
\(\displaystyle{ x^3-6x^2+9x-3=0}\)
Zgodnie z zasadą bierzemy
\(\displaystyle{ x=y-\frac{b}{3a}=y+2}\)
Podstawiamy
\(\displaystyle{ (y+2)^3-6(y+2)^2+9(y+2)-3=y^3-3y-1}\)
Od tego momentu jest bardzo wiele sposobów.
(skończe za jakąs godzine bo nie mam czasu chwilowo) Może dasz sam radę proponuję podstawienie y=u+v
\(\displaystyle{ y^{3}=v^{3}+3uv^{2}+3u^{2}v+u^{3}=3uv(u+v)+u^{3}+v^{3}=3uvy+u^{3}+v^{3}\\
y^{3}-3uvy-(u^{3}+v^{3})=0(*)\\
3uv=3 u^{3}+v^{3}=1(**)}\)
Z tego mamy
\(\displaystyle{ \left(\frac{3}{3v}\right)^{3}+v^{3}-1=0\\
v^{3}-\frac{(-3)^{3}}{27v^{3}}-1=0\\
(v^{3})^{2}-1(v^{3})-\frac{-27}{27}=0\\}\)
Podstawmy
\(\displaystyle{ v^3=t
\\
t^2-t+1=0\\
t_0=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}}\)
Następnie wybieramy liczbę v0 taką, że
\(\displaystyle{ (v_0)^3 = z_0}\) Kładziemy \(\displaystyle{ u_0=\frac{-p}{3v_0}}\) i zauważamy że v0,u0 spełniają równania (**). Jeśli więc połóżymy
y0 = v0 + u0,
to liczby y0,v0,u0 będą spełniać równanie (*), czyli
y0 jest pierwiastkiem naszego równania (wstępnego z igrekiem)
(nie chce mi się już tu w końcówce wpisywac danych, ale mam nadzieje że sobie poradzisz, a mając ten jeden pierwiastek reszte uzyskasz z twierdzenia Bezouta
Niech więc będzie
\(\displaystyle{ x^3-6x^2+9x-3=0}\)
Zgodnie z zasadą bierzemy
\(\displaystyle{ x=y-\frac{b}{3a}=y+2}\)
Podstawiamy
\(\displaystyle{ (y+2)^3-6(y+2)^2+9(y+2)-3=y^3-3y-1}\)
Od tego momentu jest bardzo wiele sposobów.
(skończe za jakąs godzine bo nie mam czasu chwilowo) Może dasz sam radę proponuję podstawienie y=u+v
\(\displaystyle{ y^{3}=v^{3}+3uv^{2}+3u^{2}v+u^{3}=3uv(u+v)+u^{3}+v^{3}=3uvy+u^{3}+v^{3}\\
y^{3}-3uvy-(u^{3}+v^{3})=0(*)\\
3uv=3 u^{3}+v^{3}=1(**)}\)
Z tego mamy
\(\displaystyle{ \left(\frac{3}{3v}\right)^{3}+v^{3}-1=0\\
v^{3}-\frac{(-3)^{3}}{27v^{3}}-1=0\\
(v^{3})^{2}-1(v^{3})-\frac{-27}{27}=0\\}\)
Podstawmy
\(\displaystyle{ v^3=t
\\
t^2-t+1=0\\
t_0=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}}\)
Następnie wybieramy liczbę v0 taką, że
\(\displaystyle{ (v_0)^3 = z_0}\) Kładziemy \(\displaystyle{ u_0=\frac{-p}{3v_0}}\) i zauważamy że v0,u0 spełniają równania (**). Jeśli więc połóżymy
y0 = v0 + u0,
to liczby y0,v0,u0 będą spełniać równanie (*), czyli
y0 jest pierwiastkiem naszego równania (wstępnego z igrekiem)
(nie chce mi się już tu w końcówce wpisywac danych, ale mam nadzieje że sobie poradzisz, a mając ten jeden pierwiastek reszte uzyskasz z twierdzenia Bezouta
Ostatnio zmieniony 29 gru 2008, o 11:46 przez chris139, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Ateos
- Użytkownik
- Posty: 1100
- Rejestracja: 10 maja 2008, o 17:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Swarzędz
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 214 razy
Wielomian 4 stopnia z niewymiernymi pierwiastkami.
przy obliczaniu już pierwiastków (korzystam z poradnika ze strony> )
mam pod pierwiastkiem liczbe ujemną, rozumiem, ze cos z liczbami zespolonymi musze zrobic, ale co jak mam np. : \(\displaystyle{ \sqrt{-12,4847}}\), chcialbym dostac konkretna liczbe, zeby moc dalej liczyc(nie chce w wyniku zadnego i, i^2 cos,, same liczby:D) THX chlopaki!
mam pod pierwiastkiem liczbe ujemną, rozumiem, ze cos z liczbami zespolonymi musze zrobic, ale co jak mam np. : \(\displaystyle{ \sqrt{-12,4847}}\), chcialbym dostac konkretna liczbe, zeby moc dalej liczyc(nie chce w wyniku zadnego i, i^2 cos,, same liczby:D) THX chlopaki!
-
chris139
- Użytkownik
- Posty: 326
- Rejestracja: 21 paź 2007, o 21:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 122 razy
Wielomian 4 stopnia z niewymiernymi pierwiastkami.
i to jest normalna liczba jak masz w pierwiastku liczbe ujemna to przed pierwiastek dajesz i a w pierwiastku ta liczba bez minusa
\(\displaystyle{ \sqrt{-3}=i\sqrt{3}}\)
Jeśli chcesz sobie radzic z równaniami 3 i 4 stopnia to musisz sie przyzwyczaic do liczb zespolonych
\(\displaystyle{ \sqrt{-3}=i\sqrt{3}}\)
Jeśli chcesz sobie radzic z równaniami 3 i 4 stopnia to musisz sie przyzwyczaic do liczb zespolonych
-
Ateos
- Użytkownik
- Posty: 1100
- Rejestracja: 10 maja 2008, o 17:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Swarzędz
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 214 razy
Wielomian 4 stopnia z niewymiernymi pierwiastkami.
a dzieki:)
no dobra ale jak pozbede sie "i" ?
bo ,mam dostac 4 liczby typu:
1,34...
0,3457....
a nie 4,56...*i
no dobra ale jak pozbede sie "i" ?
bo ,mam dostac 4 liczby typu:
1,34...
0,3457....
a nie 4,56...*i
-
chris139
- Użytkownik
- Posty: 326
- Rejestracja: 21 paź 2007, o 21:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 122 razy
Wielomian 4 stopnia z niewymiernymi pierwiastkami.
a skad wiesz jakie liczby masz dostac, jak ma byc w ten sposob i ci wychodzi jednostka urojona(ale nie w kwadracie) to robisz jakis blad i zamiast prosic o rozwiazanie jakiegos przykladu mogles dac poprostu swoj i by bylo po problemie
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Wielomian 4 stopnia z niewymiernymi pierwiastkami.
Przykład
\(\displaystyle{ x ^{4}+2x ^{2}+6 \sqrt{10}x+1=0}\)
Metoda Descartesa-Eulera
\(\displaystyle{ p=2}\)
\(\displaystyle{ q=6 \sqrt{10}}\)
\(\displaystyle{ r=1}\)
\(\displaystyle{ 2p=4}\)
\(\displaystyle{ p ^{2}-4r=0}\)
\(\displaystyle{ -q ^{2}=-360}\)
Równanie rozwiązujące
\(\displaystyle{ t ^{3}+4t ^{2}-360=0}\)
Obliczamy teraz pierwiastki
Od razu widac że pierwiastkiem tego równania jest
\(\displaystyle{ t _{1}=6}\)
Stosując tw Bezout otrzymujemy równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ t ^{2}+10t+60=0}\)
Zatem pozostałe pierwiastki to
\(\displaystyle{ t _{2,3}=-5 \mp i\sqrt{35}}\)
Wyciągamy pierwiastki kwadratowe z pierwiastków równania rozwiązującego
\(\displaystyle{ u= \sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ v= \sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }-i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2}}\)
\(\displaystyle{ w= \sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }+i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2}}\)
Obliczamy iloczyn uvw
\(\displaystyle{ \sqrt{6} \left( {2 \sqrt{15}-5 \over 2} + {2 \sqrt{15}+5 \over 2} \right)}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{6}*2* \sqrt{15}}\)
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{90}=6 \sqrt{10}=q}\)
Wobec powyższego za w musimy przyjąc drugi pierwiastek czyli pomnożyc przez -1
\(\displaystyle{ u= \sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ v= \sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }-i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2}}\)
\(\displaystyle{ w=- \sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }-i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2}}\)
\(\displaystyle{ x _{1}= {1 \over 2}\left(\sqrt{6}+ \sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }-i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2} - \sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }-i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2 \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{2}= {1 \over 2}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }+i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2} + \sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }+i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2 \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{3}= {1 \over 2}\left(-\sqrt{6}+\sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }-i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2} + \sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }+i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2 \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{4}= {1 \over 2}\left(-\sqrt{6}-\sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }+i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2} - \sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }-i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2 \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{1}= {1 \over 2}\left(\sqrt{6}-2i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2} \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{2}= {1 \over 2}\left(\sqrt{6}+2i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2} \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{3}= {1 \over 2}\left(-\sqrt{6}+2\sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 } \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{4}= {1 \over 2}\left(-\sqrt{6}-2\sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 } \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{1}= {1 \over 2}\left(\sqrt{6}-i \sqrt{10+4 \sqrt{15}} \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{2}= {1 \over 2}\left(\sqrt{6}+i \sqrt{10+4 \sqrt{15}} \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{3}= {1 \over 2}\left(-\sqrt{6}+\sqrt{-10+4 \sqrt{15}} \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{4}= {1 \over 2}\left(-\sqrt{6}-\sqrt{-10+4 \sqrt{15}} \right)}\)
Teraz spróbujemy rozwiązac to samo równanie metodą Ferrariego
\(\displaystyle{ x ^{4}+2x ^{2}+6 \sqrt{10}x+1=0}\)
\(\displaystyle{ x ^{4}=-2x ^{2}-6 \sqrt{10}x-1}\)
Wprowadzamy nową niewiadomą tak aby lewastrona nadal była pełnym kwadratem
\(\displaystyle{ \left(x ^{2}+{y \over 2} \right) ^{2}= \left( y-2\right)x ^{2}-6 \sqrt{10}x+{y ^{2} \over 4 } -1}\)
Obliczamy wyróżnik
\(\displaystyle{ 360= \left( y ^{2}-4 \right) \left(y-2 \right)}\)
\(\displaystyle{ y ^{3}-2y ^{2}-4y-352=0}\)
Powyższe równanie to równanie rozwiązujące którego pierwiastkiem jest
\(\displaystyle{ y _{1}=8}\)
\(\displaystyle{ \left(x ^{2}+4 \right) ^{2}= 6x ^{2}-6 \sqrt{10}x+15}\)
\(\displaystyle{ \left(x ^{2}+4 \right) ^{2}= \left( \sqrt{6}x- \sqrt{15} \right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left(x ^{2}+4 \right)= \mp \left( \sqrt{6}x- \sqrt{15} \right)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2}+4=- \sqrt{6}x+ \sqrt{15} \\x ^{2}+4= \sqrt{6}x- \sqrt{15} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2}+ \sqrt{6}x+4- \sqrt{15}= 0 \\x ^{2}-\sqrt{6}x+4+ \sqrt{15} =0 \end{cases}}\)
Obliczamy wyróżniki
\(\displaystyle{ \Delta _{1}=6-4 \left(4- \sqrt{15} \right)=-10+4 \sqrt{15}}\)
\(\displaystyle{ \Delta _{2}=6-4 \left(4+ \sqrt{15} \right)=-10-4 \sqrt{15}}\)
\(\displaystyle{ x _{1,2}={- \sqrt{6} \mp \sqrt{-10+4 \sqrt{15} } \over 2 }}\)
\(\displaystyle{ x _{3,4}={ \sqrt{6} \mp i\sqrt{10+4 \sqrt{15} } \over 2 }}\)
[ Dodano: 30 Grudnia 2008, 03:47 ]
W metodzie Ferrariego równanie rozwiązujące było postaci
\(\displaystyle{ y ^{3}-2y ^{2}-4y-352}\)
Po podstawieniu otrzymamy równanie
\(\displaystyle{ y ^{3}-{16 \over 3}y-{9592 \over 27}=0}\)
Równanie rozwiązujące jest postaci
\(\displaystyle{ t ^{2}-{9592 \over 27}t+{4096 \over 729}=0}\)
Pierwiastki równania rozwiązującego to
\(\displaystyle{ t _{1,2}={4792 \mp \sqrt{22997520} \over 27 }}\)
\(\displaystyle{ y _{1}={1 \over 3} \left( \sqrt[3]{4792 - \sqrt{22997520}}+\sqrt[3]{4792 + \sqrt{22997520}}+2 \right)}\)
Gdy skorzystasz z kalkulatora otrzymasz wynik
\(\displaystyle{ y _{1}=8}\)
Obliczanie pozostałych pierwiastków w tej metodzie nie jest konieczne ale możesz skorzystac
np z twierdzenia Bezout, podzielc wielomian i dostac równanie kwadratowe
[ Dodano: 30 Grudnia 2008, 04:21 ]
W metodzie Descartesa Eulera równanie rozwiązujące było postaci
\(\displaystyle{ y ^{3}+4t ^{2}-360=0}\)
Po podstawieniu otrzymalismy
\(\displaystyle{ y ^{3}-{16 \over 3}y-{9592 \over 27}=0}\)
Równanie rozwiązujące było postaci
\(\displaystyle{ t ^{2}-{9592 \over 27}t+{4096 \over 729}=0}\)
Pierwiastki równania rozwiązującego
\(\displaystyle{ t _{1,2}={4796 \mp \sqrt{22997520} \over 27}}\)
\(\displaystyle{ y _{1}={1 \over 3} \left( \sqrt[3]{4796 - \sqrt{22997520}} + \sqrt[3]{4796 + \sqrt{22997520}} -4 \right)}\)
Po skorzystaniu z kalkulatora okazało się że pierwiastkiem jest
\(\displaystyle{ y _{1}=6}\)
W tej metodzie konieczne jest obliczenie pozostałych pierwiastków
można to zrobic np korzystając z tw Bezout .Gdy podzielimy wielomian dostaniemy równanie kwadratowe którego rozwiązaniem będą pozostałe pierwiastki
[ Dodano: 30 Grudnia 2008, 05:14 ]
Jeżeli chodzi o przykład Chrisa to po rozwiązaniu równania rozwiązującego otrzymamy
dwa pierwiastki zespolone
Wobec tego musimy skorzystac ze wzoru de Moivre i
otrzymamy wynik w postaci funkcji trygonometrycznej
Przypadek ten nazywa się casus irreducibilis
W pliku pdf
wspomniana jest metoda funkcji symetrycznych
Czy mógłby ktoś dokładniej ją opisac
\(\displaystyle{ x ^{4}+2x ^{2}+6 \sqrt{10}x+1=0}\)
Metoda Descartesa-Eulera
\(\displaystyle{ p=2}\)
\(\displaystyle{ q=6 \sqrt{10}}\)
\(\displaystyle{ r=1}\)
\(\displaystyle{ 2p=4}\)
\(\displaystyle{ p ^{2}-4r=0}\)
\(\displaystyle{ -q ^{2}=-360}\)
Równanie rozwiązujące
\(\displaystyle{ t ^{3}+4t ^{2}-360=0}\)
Obliczamy teraz pierwiastki
Od razu widac że pierwiastkiem tego równania jest
\(\displaystyle{ t _{1}=6}\)
Stosując tw Bezout otrzymujemy równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ t ^{2}+10t+60=0}\)
Zatem pozostałe pierwiastki to
\(\displaystyle{ t _{2,3}=-5 \mp i\sqrt{35}}\)
Wyciągamy pierwiastki kwadratowe z pierwiastków równania rozwiązującego
\(\displaystyle{ u= \sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ v= \sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }-i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2}}\)
\(\displaystyle{ w= \sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }+i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2}}\)
Obliczamy iloczyn uvw
\(\displaystyle{ \sqrt{6} \left( {2 \sqrt{15}-5 \over 2} + {2 \sqrt{15}+5 \over 2} \right)}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{6}*2* \sqrt{15}}\)
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{90}=6 \sqrt{10}=q}\)
Wobec powyższego za w musimy przyjąc drugi pierwiastek czyli pomnożyc przez -1
\(\displaystyle{ u= \sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ v= \sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }-i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2}}\)
\(\displaystyle{ w=- \sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }-i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2}}\)
\(\displaystyle{ x _{1}= {1 \over 2}\left(\sqrt{6}+ \sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }-i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2} - \sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }-i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2 \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{2}= {1 \over 2}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }+i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2} + \sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }+i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2 \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{3}= {1 \over 2}\left(-\sqrt{6}+\sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }-i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2} + \sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }+i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2 \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{4}= {1 \over 2}\left(-\sqrt{6}-\sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }+i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2} - \sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 }-i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2 \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{1}= {1 \over 2}\left(\sqrt{6}-2i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2} \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{2}= {1 \over 2}\left(\sqrt{6}+2i \sqrt{2 \sqrt{15}+5 \over 2} \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{3}= {1 \over 2}\left(-\sqrt{6}+2\sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 } \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{4}= {1 \over 2}\left(-\sqrt{6}-2\sqrt{2 \sqrt{15}-5 \over 2 } \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{1}= {1 \over 2}\left(\sqrt{6}-i \sqrt{10+4 \sqrt{15}} \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{2}= {1 \over 2}\left(\sqrt{6}+i \sqrt{10+4 \sqrt{15}} \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{3}= {1 \over 2}\left(-\sqrt{6}+\sqrt{-10+4 \sqrt{15}} \right)}\)
\(\displaystyle{ x _{4}= {1 \over 2}\left(-\sqrt{6}-\sqrt{-10+4 \sqrt{15}} \right)}\)
Teraz spróbujemy rozwiązac to samo równanie metodą Ferrariego
\(\displaystyle{ x ^{4}+2x ^{2}+6 \sqrt{10}x+1=0}\)
\(\displaystyle{ x ^{4}=-2x ^{2}-6 \sqrt{10}x-1}\)
Wprowadzamy nową niewiadomą tak aby lewastrona nadal była pełnym kwadratem
\(\displaystyle{ \left(x ^{2}+{y \over 2} \right) ^{2}= \left( y-2\right)x ^{2}-6 \sqrt{10}x+{y ^{2} \over 4 } -1}\)
Obliczamy wyróżnik
\(\displaystyle{ 360= \left( y ^{2}-4 \right) \left(y-2 \right)}\)
\(\displaystyle{ y ^{3}-2y ^{2}-4y-352=0}\)
Powyższe równanie to równanie rozwiązujące którego pierwiastkiem jest
\(\displaystyle{ y _{1}=8}\)
\(\displaystyle{ \left(x ^{2}+4 \right) ^{2}= 6x ^{2}-6 \sqrt{10}x+15}\)
\(\displaystyle{ \left(x ^{2}+4 \right) ^{2}= \left( \sqrt{6}x- \sqrt{15} \right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left(x ^{2}+4 \right)= \mp \left( \sqrt{6}x- \sqrt{15} \right)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2}+4=- \sqrt{6}x+ \sqrt{15} \\x ^{2}+4= \sqrt{6}x- \sqrt{15} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2}+ \sqrt{6}x+4- \sqrt{15}= 0 \\x ^{2}-\sqrt{6}x+4+ \sqrt{15} =0 \end{cases}}\)
Obliczamy wyróżniki
\(\displaystyle{ \Delta _{1}=6-4 \left(4- \sqrt{15} \right)=-10+4 \sqrt{15}}\)
\(\displaystyle{ \Delta _{2}=6-4 \left(4+ \sqrt{15} \right)=-10-4 \sqrt{15}}\)
\(\displaystyle{ x _{1,2}={- \sqrt{6} \mp \sqrt{-10+4 \sqrt{15} } \over 2 }}\)
\(\displaystyle{ x _{3,4}={ \sqrt{6} \mp i\sqrt{10+4 \sqrt{15} } \over 2 }}\)
[ Dodano: 30 Grudnia 2008, 03:47 ]
W metodzie Ferrariego równanie rozwiązujące było postaci
\(\displaystyle{ y ^{3}-2y ^{2}-4y-352}\)
Po podstawieniu otrzymamy równanie
\(\displaystyle{ y ^{3}-{16 \over 3}y-{9592 \over 27}=0}\)
Równanie rozwiązujące jest postaci
\(\displaystyle{ t ^{2}-{9592 \over 27}t+{4096 \over 729}=0}\)
Pierwiastki równania rozwiązującego to
\(\displaystyle{ t _{1,2}={4792 \mp \sqrt{22997520} \over 27 }}\)
\(\displaystyle{ y _{1}={1 \over 3} \left( \sqrt[3]{4792 - \sqrt{22997520}}+\sqrt[3]{4792 + \sqrt{22997520}}+2 \right)}\)
Gdy skorzystasz z kalkulatora otrzymasz wynik
\(\displaystyle{ y _{1}=8}\)
Obliczanie pozostałych pierwiastków w tej metodzie nie jest konieczne ale możesz skorzystac
np z twierdzenia Bezout, podzielc wielomian i dostac równanie kwadratowe
[ Dodano: 30 Grudnia 2008, 04:21 ]
W metodzie Descartesa Eulera równanie rozwiązujące było postaci
\(\displaystyle{ y ^{3}+4t ^{2}-360=0}\)
Po podstawieniu otrzymalismy
\(\displaystyle{ y ^{3}-{16 \over 3}y-{9592 \over 27}=0}\)
Równanie rozwiązujące było postaci
\(\displaystyle{ t ^{2}-{9592 \over 27}t+{4096 \over 729}=0}\)
Pierwiastki równania rozwiązującego
\(\displaystyle{ t _{1,2}={4796 \mp \sqrt{22997520} \over 27}}\)
\(\displaystyle{ y _{1}={1 \over 3} \left( \sqrt[3]{4796 - \sqrt{22997520}} + \sqrt[3]{4796 + \sqrt{22997520}} -4 \right)}\)
Po skorzystaniu z kalkulatora okazało się że pierwiastkiem jest
\(\displaystyle{ y _{1}=6}\)
W tej metodzie konieczne jest obliczenie pozostałych pierwiastków
można to zrobic np korzystając z tw Bezout .Gdy podzielimy wielomian dostaniemy równanie kwadratowe którego rozwiązaniem będą pozostałe pierwiastki
[ Dodano: 30 Grudnia 2008, 05:14 ]
Jeżeli chodzi o przykład Chrisa to po rozwiązaniu równania rozwiązującego otrzymamy
dwa pierwiastki zespolone
Wobec tego musimy skorzystac ze wzoru de Moivre i
otrzymamy wynik w postaci funkcji trygonometrycznej
Przypadek ten nazywa się casus irreducibilis
W pliku pdf
Kod: Zaznacz cały
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdfwspomniana jest metoda funkcji symetrycznych
Czy mógłby ktoś dokładniej ją opisac
Ostatnio zmieniony 16 sty 2009, o 07:08 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 1 raz.