Całeczka

[Wawawawawa]

\(\displaystyle{ \int \frac{x \ dx}{ ( I_{0}+mx^{2} )^{2} }= \ ?}\)
Tylko błagam, po kolei i tak żebym zrozumiał. Jestem początkujący
Z góry dzięki!

[sea_of_tears]

\(\displaystyle{ \int \frac{x dx}{(I_{O}+mx^2)^2} =
\begin{cases}
t=I_{0}+mx^2 \\
dt= 2mx dx
\end{cases}
\newline
=\frac{1}{2m}\int \frac{2mx dx}{(I_{0}+mx^2)^2}=
\frac{1}{2m}\int \frac{dt}{t^2}=
\frac{1}{2m}\cdot \frac{-1}{t}=\frac{-1}{2m}\cdot\frac{1}{I_{0}+mx^2}}\)

[Dedemonn]

\(\displaystyle{ \int \frac{x \ dx}{ ( I_{0}+mx^{2} )^{2} }}\)

(\(\displaystyle{ I_0}\) jak rozumiem to jakaś stała?)
Robimy następujące podstawienie:

\(\displaystyle{ I_0+mx^2 = t}\)

Różniczkujemy:

\(\displaystyle{ 2mx\ dx = dt \\
x\ dx = \frac{1}{2m}dt}\)

Podstawiamy:

\(\displaystyle{ \int \frac{x \ dx}{ ( I_{0}+mx^{2} )^{2} } = t \frac{\frac{1}{2m}}{t^2}dt =}\)

(\(\displaystyle{ \frac{1}{2m}}\) to stała, więc możemy wyciągnąć przed całkę)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{2m} t \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{2m} t t^{-2} dt = \frac{1}{2m} \frac{1}{-1} t^{-1} + C = \frac{1}{2m} (-\frac{1}{t}) + C = - \frac{1}{2m(I_0+mx^2)} + C}\)

[Wawawawawa]

Dzięki!
A jakby to wyglądało gdyby w liczniku było \(\displaystyle{ x^{2}}\), a nie x?

[Dedemonn]

Obliczenia byłyby o wiele bardziej skomplikowane i zapewne byśmy korzystali z wyprowadzonych już jakichś tam wzorów.

Póki co opanuj sztukę rozwiązywania całek przez podstawienie i przez części.


Pzdr.