relacje antysymetryczne-sprawdzanie

[Pumba]

sprawdz czy relacja jest antysymetryczna
1. \(\displaystyle{ R \mathbb{R}^{2} \ \ \forall_ {x,y \mathbb{R}} \ \ xRy x^{3}=y^{3}}\)
2. \(\displaystyle{ R (\mathbb{N} \backslash \lbrace 0 \rbrace)^{2} \ \ \ \forall_ {x,y \mathbb{N} \backslash \lbrace 0 \rbrace} \ \ xRy (x|y x y)}\)
3. \(\displaystyle{ R \mathbb{Z}^{2} \ \ \forall_ {x,y \mathbb{Z}} \ \ xRy (x=2 y=3)}\)

[Brzytwa]

2) jest antysymetryczna, gdyż większa liczba nigdy nie dzieli mniejszej,
3) jest antysymetryczna, gdyż jedynym elementem relacji jest para (2,3) [zatem para (3,2) nie należy do tej relacji]
1) To zależy jak definiujesz relację antysymetryczną. Jeśli ci chodziło o słabą to jest antysymetryczna, a jeżeli o silną to nie jest antysymetryczna

[Pumba]

dzięki, my nie mielismy rozgraniczenia na antysymetrie słaba i silna, mielismy tylko taka definicje: \(\displaystyle{ \forall_{x,y X } \ \ xRy yRx x=y}\) jako ogolnie antysymetria, wiec nie jestem pewna czy dobrze rozumiem ta slaba i silna, czy moge powiedziec ze kazda silna antysymetria jest jednoczesnie slaba? chodzi mi o to ze jesli spotkam gdzies antysymetrie silna to czy moge powiedziec o niej ze jest antysymetryczna opierajac sie tylko na tej definicji ktora nam podali?

z gory dziekuje za pomoc =]

[Brzytwa]

Z antysymetrią u różnych wykładowców bywa różnie. Jedni uznają podział na antysymetrię i słabą antysymetrię, inni na silną antysymetrię i antysymetrię. Dlatego lepiej używać definicji własności relacji, wtedy nie ma kłopotu z interpretacją. Ich definicje są następujące:


1) antysymetria (silna antysymetria) - \(\displaystyle{ \forall_{x,y X } \ \ xRy yRx}\)

2) słaba antysymetria (antysymetria) - \(\displaystyle{ \forall_{x,y X } \ \ xRy yRx x=y}\)


I jeśli dana relacja jest antysymetryczna (silnie antysymetryczna) to jest również słabo antysymetryczna (antysymetryczna).