okresowość funkcji z logarytmem

[mircha]

Z czego wynika, że funkcja \(\displaystyle{ y=x-2\ln x}\) nie jest okresowa?

[bedbet]

Możesz pokazać wprost z definicji, bądź po prostu zbadać przebieg zmienności tej funkcji

[mircha]

Druga ewentualność odpada, bo zbadanie okresowości jest częścią badania przebiegu zmienności tej funkcji. A jak to zrobić z definicji?

[miodzio1988]

dla każdego x\(\displaystyle{ \in}\) D zachodzi równość f(x + T) = f(x).(D - dziedzina funkcji) to jest definicja. Zatem musimy pokazać, że prawdziwa jest równość: x+ T - 2 ln(x+T)= x- 2 lnx(dla każdego x oczywiście). I jak sobie odpowiednio przekształcimy tę rownosc to widzimy że takie T nie istnieje , aby ta równość była prawdziwa dla wszystkich x-sów. Zatem funkcja nie jest okresowa.

[mircha]

I jak sobie odpowiednio przekształcimy tę rownosc to widzimy że takie T nie istnieje

w tym sęk, że do tego momentu to ja wiem, chodzi mi raczej o to, jak sobie odpowiednio przekształcić to równanie

[miodzio1988]

skracamy x , logarytm przenosimy na drugą stronę . Korzystamy ze wzoru na roznice logarytmow o tej samej podstawie.
()
i z takiej juz postaci mozemy stwierdzic , ze nie istnieje takie T, aby ta rownosc byla prawdziwa dla kazdego x.

[mircha]

zgadza się, mamy
\(\displaystyle{ \ln\frac{x+T}{x}=\frac{1}{2}T}\)
ale jak pokazać, że nie istnieje takie \(\displaystyle{ T\neq 0}\) ?

[miodzio1988]

musi zatem istniec takie T , że dla kazdego x jest spelniona rownosc: \(\displaystyle{ e^{ \frac{T}{2} }}\) = 1+ \(\displaystyle{ \frac{T}{x}}\). Jedynym takim T jest 0 , inne nie spelniaja tego warunku. Po lewej masz funkcje stałą , natomiast po prawej funkcje wykładniczą . Zatem widać ze dla kazdego x rownosc nie jest prawdziwa.

[mircha]

po prawej jest hiperbola, a nie funkcja wykładnicza, ale OK - pasuje mi argumentacja:)

Mam teraz tylko jedno pytanie: w definicji funkcji okresowej oprócz warunku \(\displaystyle{ f(x+T)=f(x)}\) jest jeszcze warunek \(\displaystyle{ x+T\in D\ \ x-T\in D}\), więc może wystarczyłoby powiedzieć, że skoro dziedziną jest zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R}_+}\), to dla każdego \(\displaystyle{ T\neq 0}\) istnieją wartości \(\displaystyle{ x\in D}\) takie, że \(\displaystyle{ x+T\not\in D\ \ x-T\not\in D}\) ?

[miodzio1988]

moglibysmy tak zrobic gdyby byla inna kolejnosc kwantyfikatorów:D tutaj mamy juz dane T ,dla którego muszą wszystkie x (nalezace do dziedziny) dawac nam żądaną rownosc:D skoro argumentacje przyjelas to znaczy ze rozwiazalismy zadanie, nie?:D
to jest moja definicja hiperboli(:P):

a ta funkcje po prawej nie wiem jak nazwac w takim razie:D
ale niech bedzie hiperbola:P

[mircha]

moglibysmy tak zrobic gdyby byla inna kolejnosc kwantyfikatorów:D

tu się nie zgadzam!

definicja funkcji okresowej jest taka:

Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest okresowa \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \exists_{t\neq 0}\forall_{x\in D}\left[x+T\in D\ \ x-T\in D\ \ f(x+T)=f(x)\right]}\)

wobec tego

Funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest okresowa \(\displaystyle{ \Leftrightarrow ft(\exists_{t\neq 0}\forall_{x\in D}\left[x+T\in D\ \ x-T\in D\ \ f(x+T)=f(x)\right]\right)\Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \forall_{t\neq 0}\exists_{x\in D}\left[x+T\not\in D\ \ x-T\not\in D\ \ f(x+T)\neq f(x)\right]\right)}\)

[miodzio1988]

więc może wystarczyłoby powiedzieć, że skoro dziedziną jest zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R}_+}\), to dla każdego \(\displaystyle{ T\neq 0}\) istnieją wartości \(\displaystyle{ x\in D}\) takie, że \(\displaystyle{ x+T\not\in D\ \ x-T\not\in D}\) ?

Chcąc pokazać , ze funkcja nie jest okresowa musimy pokazac ze wszystkie 3 warunki nie zachodzą:P w zaprzeczeniu mamy alternatywe , tak?:D a kiedy alternatywa jest prawdziwa? Pomijajać jeden skladnik tej alternatywy na pewno nie pokazemy okresowosci funkcji. Gdyby tam byla koniunkcja to rozumowanie byloby wlasciwe:P

[mircha]

a kiedy alternatywa jest prawdziwa?

jeśli przynajmniej jeden składnik jest prawdziwy:D

Pomijajać jeden skladnik tej alternatywy na pewno nie pokazemy okresowosci funkcji.

my mamy pokazać nieokresowość:D

Gdyby tam byla koniunkcja to rozumowanie byloby wlasciwe:P

właśnie wtedy trzeba byłoby pokazać spełnienie wszystkich warunków:P

[miodzio1988]

juz nie zasmiecajmy tego watku naszymi sprzeczkami:P zadanie jest rozwiazane wiec jest ok:D jak Ci się chce jeszcze klocic to na priv:D zamykamy temat:P

[mircha]

nie uważam tego za kłótnię tylko za merytoryczną dyskusję i chcę wiedzieć czy mam w niej rację

z drugiej strony, mam jednak wątpliwości czy można sprawdzać warunek \(\displaystyle{ f(x+T)=f(x)}\), a jeżeli \(\displaystyle{ x+T\not\in D}\), to wyrażenie \(\displaystyle{ f(x+T)}\) nie ma sensu! Dlatego wydaje mi się, że dopiero jak są spełnione warunki \(\displaystyle{ x+T\in D\ \ x-T\in D}\), można badać czy \(\displaystyle{ f(x+T)=f(x)}\)