całka z funkcji niewymiernej

jacek05 · Post autor: **jacek05** » 27 gru 2008, o 00:37

Siema. mam problem z obliczeniem takie oto sympatycznej całki
\(\displaystyle{ \int{\frac{dx}{(x^2+a^2)^{3/2}}}}\)

luka52 · Post autor: **luka52** » 27 gru 2008, o 00:43

\(\displaystyle{ = \frac{1}{a^2} t \frac{x^2 + a^2 - x^2}{(x^2 + a^2)^{3/2}} \mbox d x}\)
i dalej kombinuj.

jacek05 · Post autor: **jacek05** » 27 gru 2008, o 11:41

\(\displaystyle{ \frac{1}{a^2}\int{\frac{x^2+a^2-x^2}{(x^2+a^2)^{3/2}}}=\frac{1}{a^2}\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}}-\frac{1}{a^2}\int{\frac{x^2}{(x^2+a^2)^{3/2}}}}\)
no i ta pierwsza całka to wychodzi: \(\displaystyle{ \frac{1}{a^2}\ln{|x+\sqrt{x^2+a^2}|}}\)
natomiast nadal nie mam pomysłu jak do tej drugiej podejść.. To trzeba jakoś sprytnie podstawić?

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 27 gru 2008, o 11:51

Pierwsza całka to będzie zdaje się

\(\displaystyle{ \frac{1}{a^2}\int{\frac{dx}{\sqrt{(x^2+a^2)}^2}} = \frac{1}{a^2} t \frac{dx}{x^2+a^2}}\)

Skróciłeś o 1 potęgę za dużo.

EDIT: Pierdoły - nie czytać.

jacek05 · Post autor: **jacek05** » 27 gru 2008, o 11:57

hm.. ale jakbyśmy sobie to tak rozwineli
\(\displaystyle{ \frac{x^2+a^2}{(x^2+a^2)\sqrt{x^2+a^2}}}\)

No bo jak by miał wyjść kwadrat pierwiastka w mianowniku, to musiałbym mieć pierwiastek w liczniku, a przy takim rozwinięciu luka mam w liczniku pierwszą potęgę tego wyrażenia..

luka52 · Post autor: **luka52** » 27 gru 2008, o 12:00

Druga przez części - \(\displaystyle{ u = x, \text d v = \frac{x}{(x^2 + a^2)^{3/2}}\text d x}\).

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 27 gru 2008, o 12:14

jacek05 pisze:hm.. ale jakbyśmy sobie to tak rozwineli
\(\displaystyle{ \frac{x^2+a^2}{(x^2+a^2)\sqrt{x^2+a^2}}}\)

No bo jak by miał wyjść kwadrat pierwiastka w mianowniku, to musiałbym mieć pierwiastek w liczniku, a przy takim rozwinięciu luka mam w liczniku pierwszą potęgę tego wyrażenia..

Racja - zwracam honor.

jacek05 · Post autor: **jacek05** » 27 gru 2008, o 12:30

ufff, wyszło dzięki za pomoc:)